Как найти диагональ прямоугольника если известны периметр. Геометрические фигуры
Содержимое:
Диагональ – это отрезок, который соединяет две противолежащие вершины прямоугольника. В прямоугольнике две равные диагонали. Если известны стороны прямоугольника, диагональ можно найти по теореме Пифагора, потому что диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Если стороны не даны, но известны другие величины, например, площадь и периметр или отношение сторон, можно найти стороны прямоугольника, а затем по теореме Пифагора вычислить диагональ.
Шаги
1 По сторонам
- 1 Запишите теорему Пифагора. Формула: a 2 + b 2 = c 2
- 2
В формулу подставьте значения сторон.
Они даны в задаче или их нужно измерить. Значения сторон подставляются вместо a
3
- В нашем примере:
4 2 + 3 2 = c 2 42 По площади и периметру
- 1 Формула: S = l w (На рисунке вместо S использовано обозначение А.)
- 2 Это значение подставляется вместо S 3 Перепишите формулу так, чтобы обособить w 4 Запишите формулу для вычисления периметра прямоугольника. Формула: P = 2 (w + l)
- 5
В формулу подставьте значение периметра прямоугольника.
Это значение подставляется вместо P
6
Разделите обе стороны уравнения на 2.
Вы получите сумму сторон прямоугольника, а именно w + l
7
В формулу подставьте выражение для вычисления w
8
Избавьтесь от дроби.
Для этого обе части уравнения умножьте на l
9
Приравняйте уравнение к 0.
Для этого из обеих сторон уравнения вычтите член с переменной первого порядка.
- В нашем примере:
12 l = 35 + l 2 10 Упорядочьте члены уравнения. Первым членом будет член с переменной второго порядка, затем член с переменной первого порядка, а затем свободный член. При этом не забудьте про знаки («плюс» и «минус»), которые стоят перед членами. Обратите внимание, что уравнение запишется в виде квадратного уравнения.- В нашем примере 0 = 35 + l 2 − 12 l
11
- В нашем примере уравнение 0 = l 2 − 12 l + 35
12
Найдите l
13
Запишите теорему Пифагора.
Формула: a 2 + b 2 = c 2
- Воспользуйтесь теоремой Пифагора, потому что каждая диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Причем стороны прямоугольника – это катеты треугольника, а диагональ прямоугольника – гипотенуза треугольника.
- 14
Эти значения подставляются вместо a
15
Длину и ширину возведите в квадрат, а затем сложите полученные результаты.
Помните, что при возведении числа в квадрат оно умножается на себя.
- В нашем примере:
5 2 + 7 2 = c 2 16 Извлеките квадратный корень из обеих сторон уравнения. Воспользуйтесь калькулятором, чтобы быстро извлечь квадратный корень. Также можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вы найдете c3 По площади и отношению сторон
- 1
Запишите уравнение, характеризующее отношение сторон.
Обособьте l
2
Запишите формулу для вычисления площади прямоугольника.
Формула: S = l w (На рисунке вместо S использовано обозначение A.)
- Этот метод применим и в том случае, когда известно значение периметра прямоугольника, но тогда нужно пользоваться формулой для вычисления периметра, а не площади. Формула для вычисления периметра прямоугольника: P = 2 (w + l)
- 3
В формулу подставьте значение площади прямоугольника.
Это значение подставляется вместо S
4
В формулу подставьте выражение, характеризующее отношение сторон.
В случае прямоугольника можно подставить выражение для вычисления l
5
Запишите квадратное уравнение.
Для этого раскройте скобки и приравняйте уравнение к нулю.
- В нашем примере:
35 = w (w + 2) 6 Разложите квадратное уравнение на множители. Чтобы получить подробные инструкции, прочитайте.- В нашем примере уравнение 0 = w 2 − 12 w + 35
7
Найдите w
8
Подставьте найденное значение ширины (или длины) в уравнение, характеризующее отношение сторон.
Так можно найти другую сторону прямоугольника.
- Например, если вы вычислили, что ширина прямоугольника равна 5 см, а отношение сторон задается уравнением l = w + 2
9
Запишите теорему Пифагора.
Формула: a 2 + b 2 = c 2
- Воспользуйтесь теоремой Пифагора, потому что каждая диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Причем стороны прямоугольника – это катеты треугольника, а диагональ прямоугольника – гипотенуза треугольника.
- 10
В формулу подставьте значения длины и ширины.
Эти значения подставляются вместо a
11
Длину и ширину возведите в квадрат, а затем сложите полученные результаты.
Помните, что при возведении числа в квадрат оно умножается на себя.
- В нашем примере:
5 2 + 7 2 = c 2 12 Извлеките квадратный корень из обеих сторон уравнения. Воспользуйтесь калькулятором, чтобы быстро извлечь квадратный корень. Также можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вы найдете c {displaystyle c} , то есть гипотенузу треугольника, а значит и диагональ прямоугольника.- В нашем примере:
74 = c 2 {displaystyle 74=c^{2}}
74 = c 2 {displaystyle {sqrt {74}}={sqrt {c^{2}}}}
8 , 6024 = c {displaystyle 8,6024=c}
Таким образом, диагональ прямоугольника, у которого длина на 2 см больше ширины и площадь которого равна 35 см 2 , приблизительно равна 8,6 см.
- В нашем примере:
- В нашем примере:
- Например, если вы вычислили, что ширина прямоугольника равна 5 см, а отношение сторон задается уравнением l = w + 2
9
Запишите теорему Пифагора.
Формула: a 2 + b 2 = c 2
- В нашем примере уравнение 0 = w 2 − 12 w + 35
7
Найдите w
8
Подставьте найденное значение ширины (или длины) в уравнение, характеризующее отношение сторон.
Так можно найти другую сторону прямоугольника.
- В нашем примере:
- 1
Запишите уравнение, характеризующее отношение сторон.
Обособьте l
2
Запишите формулу для вычисления площади прямоугольника.
Формула: S = l w (На рисунке вместо S использовано обозначение A.)
- В нашем примере:
- В нашем примере уравнение 0 = l 2 − 12 l + 35
12
Найдите l
13
Запишите теорему Пифагора.
Формула: a 2 + b 2 = c 2
- В нашем примере 0 = 35 + l 2 − 12 l
11
- В нашем примере:
- В нашем примере:
Задача на нахождение диагонали прямоугольника может быть сформулирована тремя разными способами. Рассмотрим подробнее каждый из них. Способы зависят от известных данных, итак как найти диагональ прямоугольника?
Если известны две его стороны
В случае, когда известны две стороны прямоугольника a и b, для нахождения диагонали необходимо воспользоваться теоремой Пифагора: a 2 +b 2 =c 2 , здесь a и b - катеты прямоугольного треугольника, с – гипотенуза прямоугольного треугольника. Когда в прямоугольнике прочерчена диагональ, он делится на два прямоугольных треугольника. Две стороны этого прямоугольного треугольника нам известны (a и b). То есть, чтобы найти диагональ прямоугольника, формула нужна следующая: c=√(a 2 +b 2), здесь с – длина диагонали прямоугольника.
По известной стороне и углу, между стороной и диагональю
Пусть известна сторона прямоугольника a и угол, который она образует с диагональю прямоугольника α. Для начала вспомним формулу косинуса: cos α = a/c,здесь с – диагональ прямоугольника. Как рассчитать диагональ прямоугольника из этой формулы: с = a/cos α.
По известной стороне, углу между прилегающей к ней стороне прямоугольника и диагональю.
Так как диагональ прямоугольника делит сам прямоугольник на два прямоугольных треугольника, логично обратиться к определению синуса. Синус - отношение катета, лежащего против этого угла, к гипотенузе.sin α = b/c. Отсюда выводим формулу для нахождения диагонали прямоугольника, которая также является и гипотенузой прямоугольного треугольника: с = b/sin α.
Теперь вы подкованы в этом вопросе. Можете порадовать учителя геометрии уже завтра!
Чтоб правильно рассчитать и выставить диагональ фундамента или опалубки фундамента — очень хорошо нанять спецов. Но если вы уже несколько раз видели передачу «квадратный метр», несколько раз слышали разговор о том как надо строить, а еще кучу анекдотов о строительстве? — другое дело. Это и дает нам «полное право» предполагать, что мы сами справимся с таким простым делом, как углы и диагонали опалубки фундамента. Именно такого высокого мнения о себе каждый, кто планирует строить баню своими руками (Ха-ха!)
О начале разметки и проектирования фундамента и опалубки я писал в статье . На момент вбивания кольев и установки внешних досок опалубки я уже проверял длину диагонали. Все сходилось до миллиметра. Это самое главное условия получения прямых углов сруба бани. Но после первой разметки были манипуляции с установкой дна ростверка, монтаж внутренних щитов опалубки, доделывание опалубки столбиков от уровня земли до дна будущего фундамента. Конечно же, я очень старался чтоб ничего не сдвинуть, и колья вбивал глубоко.
Но как и во всякой стройке, случился перекосяк. Это не так страшно, как если бы я этого не заметил или я об этом не знал. Поэтому я перед укладкой арматуры решил опять проверить диагонали. Разница получилась в 2 см. Вот и хорошо, что обнаружилось до заливки бетона.
Как вывести диагональ опалубки?
Для упрощения постройки правильной опалубки я делал длину стенок абсолютно равной. Поэтому перекос может получиться только в виде ромба. На рисунке умышлено увеличена степень перекоса опалубки для наглядности.
Для исправления ситуации поступили так:
Такое комбинированное перемещение одной из сторон опалубки (северной на рисунке) не было слишком трудном, поскольку колья и первоначальное расположение опалубки соответствовали правильному положению. Поэтому смещение диагонали было минимальным и усилия по «корректировке» положения щитов не вызывали механического напряжения и усилий.
Способ установки углов по равным диагоналям можно использовать только при условии равенства сторон. Равенства диагоналей
будет достаточно!
Для сторон опалубки с большим размером возможно применить правило «золотого» треугольника. Если такой треугольник, согласно теореме Пифагора, имеет стороны 3, 4, то гипотенуза равна 5 единицам. Таким образом, достаточно отмерить на сторонах опалубки части кратные 3 и 4 у вершины прямого угла и тогда расстояние между контрольными точками будет 5 частей! Это и будет гарантией прямых углов и равенства диагоналей!
Для осуществления правильного планирования монтажа опалубки очень рекомендую использовать метод обноски, который позволяет в любое время монтажных работ производить сверку углов, снимать и повторно устанавливать шнуры периметра фундамента.
Перед заливкой фундамента не поленитесь еще раз проверить диагонали. Это лишним не будет! Бетон невозможно легко и быстро поправить. Ошибки исправлять очень дорого и долго. Фундамент для сруба имеет больше требований к качеству чем фундамент для каменного дома. Раствором уже ничего не выровнять!
Не забудьте перед заливкой для ее легкого демонтажа!
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Инструкция
диагонали/em/b" class="colorbox imagefield imagefield-imagelink" rel="gallery-step-images"> Прямоугольные ( , квадрат) диагональ делит на два прямоугольных треугольника, в каждом из которых она будет гипотенузой. Следовательно, для ее вычисления возможно теоремы Пифагора. a²=b²+c², где a - гипотенуза, b и с - катеты. Пример 1: AC , если известно, что длина BC=3 см, AB=5 см.Решение: вычислите AC в ABC. AC²=AB²+BC²; AC²=5²+3²=34; из полученного значения извлеките квадратный корень: AC=√34=5,8 см.Ответ: диагональ прямоугольника равна 5,8 см.
Если перед вами квадрат, то вычислить диагональ можно, зная одну из его сторон или площадь. Т.к. все стороны , то теорема Пифагора для него будет иметь вид: a²=b²+b², a²=2b². Площадь - произведение двух сторон (S=b²). Значит, квадрат гипотенузы (в фигуре квадрат) равен его удвоенной площади (a²=2S).Пример 2: площадь квадрата 16 см². Найдите длину диагонали . Решение: вычислите длину диагонали а через площадь. a²=2S, a²=2*16 см²=32; извлеките корень квадратный: a=√32≈5,7 см.Ответ: длина диагонали квадрата – 5,7 см.
В некоторых случаях для вычисления диагонали необходимо делать дополнительные построения.Пример 3: равносторонний многоугольник со , равной 6 см, угол BCD прямой. Найдите длину диагонали AB.Решение: соедините точки B и D. Получился прямоугольный треугольник BCD, в котором сторона BD является гипотенузой. Вычислите гипотенузу BD: BD²=BC+CD²; BD²=6²+6²=72; Гипотенуза BD из треугольника BCD является катетом ABD. А диагональ AB - гипотенуза в нем. Вычислите диагональ AB: AB²=BD²+AD²=72+36=108; AB=√108=10,4 см.Ответ: длина диагонали AB=10,4 см.
Диагональ куба можно найти через диагональ одной из его граней.Пример 4: куб со стороной 5 см. Найдите диагональ куба.Решение: достройте и вычислите диагональ грани куба. AC²=5²+5²=50. Диагональ AC перпендикулярна CB, следовательно, угол ACB – прямой. Диагональ куба AB – гипотенуза в треугольнике ACB. Найдите длину диагонали куба: AB²=AC²+CB²=50+25=75; извлеките квадратный корень. AB=√75=8,7 см.Ответ: длина диагонали куба – 8,7 см.
Для вычисления диагоналей параллелограмма используют теорему косинусов: c²=a²+b²-2ab*cosγ.Пример 5: a = 2 см, b = 3 см, γ = 120°. Найдите диагональ с.Решение: подставьте значения в формулу. c²= 2²+3²-2*2*3*cos120°; cos120° найдите по таблице косинусов (-0,5). с² = 4+9-12*(-0,5)=13-(-6)=19. Из этого значения извлеките корень: с = √19 = 4,35 см.Ответ: длина диагонали с = 4,35 см.
Куб представляет собой частный случай параллелепипеда, в котором каждая из граней образована правильным многоугольником - квадратом. Всего куб обладает шестью гранями. Вычислить площадь не представляет затруднений.
Инструкция
Теперь, зная площадь одной из грани квадрата, можно узнать площадь всей поверхности куба. Это можно осуществить, если модифицировать формулу, указанную выше:
S = 6*a²
Иначе говоря, зная, что таких квадратов (граней) у куба аж шесть штук, то площадь поверхности куба составляет одной из граней куба.
Для наглядности и удобства можно привести :
Допустим, дан куб, у которого длина ребра 6 см, требуется площадь поверхности данного куба. Первоначально потребуется найти площадь грани:
S = 6*6 = 36 см²
Таким образом, площадь грани, можно найти и всю поверхности куба:
S = 36*6 = 216 см²
Ответ: площадь поверхности куба с ребром, равным 6 см, составляет 216 см²
Обратите внимание
Куб является частным случаем не только параллелепипеда, но и призмы.
Параллелепипедом называется призма, у которого основанием является параллелограмм. Особенностью параллелепипеда является то, что 4 из 6 его граней - прямоугольники.
Призмой считается многогранник, в основании которого находятся равные многоугольники. Одной из главных особенностей призмы можно назвать то, что боковые грани ее является параллелограммами.
Помимо куба, существуют и иные виды многогранников: пирамиды, призмы, параллелепипеды и т.д., каждому из них соответствуют различные способы нахождения площадей их поверхностей.
Если дан не куб, а иной правильный многогранник, то в любом случае, площадь его поверхности будет находиться аналогично. Это означает, что площадь поверхности правильного многогранника находится путем суммирования всех площадей его граней - правильных многоугольников.
Длина характеризует расстояние между начальной и конечной точками отрезка. Различают длину прямой, ломаной и замкнутой линий. Ее находят экспериментальным либо аналитическим способом.
Инструкция
Окружность представляет собой замкнутый отрезок, который является образующей круга. Если точно следовать определению, то окружностью называется геометрическое место плоскости, равноудаленных от ее центра. Все окружности имеют некоторый радиус, обозначаемый как r, а также диаметр, равный D=2r. Длина этой линии равна значению выражения:C=2πr=πD, где r - радиус окружности, D - диаметр окружности.
Если речь идет о прямой линии, то имеется в виду либо обычный отрезок, либо замкнутая фигура, такая как треугольник или прямоугольник. Для последнего длина является основной характеристикой. Простой отрезок можно экспериментально, а длину стороны у фигуры удобнее всего вычислить. Наиболее осуществить эту операцию в отношении прямоугольника.
Частным случаем прямоугольника является равносторонний, называемый квадратом. В некоторых задач приведено только площади, а найти необходимо сторону. Поскольку стороны квадрата равны, то она вычисляется по следующей формуле:a = √S.Если прямоугольник не равносторонний, то, зная его площадь и одну из сторон, найдите длину перпендикулярной стороны следующим образом:a=S/b, где S - площадь прямоугольника, b - ширина прямоугольника.
Длина стороны треугольника находится несколько иным способом. Для определения этой величины необходимо знать не только длины остальных сторон, но и значения углов. Если дан прямоугольный треугольник с углом 60° и стороной с, которая является его гипотенузой, длину катета найдите по следующей формуле:a=c*cosα.Кроме того, если в задаче дана площадь треугольника и высота, длину основания можно найти по другой формуле:a=2√S/√√3.
Длину сторон любой фигуры проще всего найти, если она равносторонняя. Например, если вокруг описана окружность, длину стороны этого треугольника вычислите следующим образом:a3=R√3.Для произвольного правильного n- сторону найдите следующим образом:an=2R*sin(α/2)=2r*tg(α/2), где R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности.
Видео по теме
Прямоугольник - одна из простейших геометрических фигур, которая, имея все углы одинаковыми и равными 90°, является частным случаем параллелограмма. Отрезок, соединяющий две вершины прямоугольника, не имеющие общей стороны, называется диагональю этого многоугольника. Вычислить длину можно несколькими способами в зависимости от известных исходных данных.
Инструкция
Если известны длины обеих сторон (A и B) прямоугольника, то длину диагонали (C) можно определить как корень из суммы квадратов . Это вытекает из теоремы Пифагора, так как диагональ в этой геометрической фигуре образует прямоугольный треугольник, двумя другими сторонами которого являются стороны прямоугольника. Диагональ в этом треугольнике является гипотенузой, а стороны прямоугольника - катетами. То есть: C=√(A²+B²).
Если длина одной из сторон неизвестна, но известна длина другой (A) и площадь (S) прямоугольника, то длину диагонали тоже можно вычислить. Так как площадь прямоугольника находится умножением длин его сторон, то неизвестную сторону можно выразить как частное от деления площади на длину другой стороны. Подставьте это в полученную на первом шаге формулу: C=√(A²+S²/A²)=√(A⁴+S²)/A.
Если известна длина одной из (A), а также длина его периметра (P), то длину второй стороны тоже можно определить. Так как в - это удвоенная сумма двух сторон, то каждую сторону можно определить как разность между полупериметром и длиной другой стороны. Подставьте это выражение во все ту же формулу из первого шага: C=√(A²+(P/2-A)²=√(A²+P²/4-P×A+A²)=√(2×A²+P²/4-P×A).
Если известен радиус окружности (R), в которую вписан прямоугольник, то диагональ его будет равна удвоенному радиусу, так как центр прямоугольника и круга в этом случае совпадают. Прямая, соединяющая две точки круга и проходящая через его центр равна его диаметру, то есть двум радиусам. А так как вершины этого прямоугольника лежат , а соединяющая их диагональ проходит через центр, то она тоже определению диаметра круга: C=2×R.
Если известен радиус вписанной окружности (r), то длины его сторон одинаковы. Этот частный случай прямоугольника квадратом. Определить длину сторон в этом случае можно как удвоенную длину радиуса окружности, а подставив это выражение в формулу из первого шага, вы получите: C=√(4×r²+4×r²)=r×√8.
Источники:
- площадь прямоугольника через диагональ
Параллелограмм - это выпуклая четырехугольная геометрическая фигура, в которой пары противоположных сторон имеют одинаковую длину. Также и пары углов в противоположных вершинах имеют одинаковые величины. Каждый отрезок, соединяющий две противоположные стороны и перпендикулярный каждой из них, можно назвать высотой этого четырехугольника. Знание длин сторон, величин углов и высот в разных сочетаниях этих параметров позволяет рассчитать площадь параллелограмма.
Инструкция
Наиболее часто для того, чтобы вычислить длину гипотенузы , задачу сводят к теоремы Пифагора, которая звучит так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Следовательно, ее длина находится вычислением квадратного корня из этой .
Если известен только один катет и величина одного из двух углов, не являющихся прямыми, то можно воспользоваться тригонометрическими формулами. Предположим, дан ABC, в котором AC=c – гипотенуза, AB=a и BC=b – катеты, α – угол между a и c, β – угол между b и c. Тогда:c = a/cosα = a/sinβ = b/cosβ = b/sinα.
Решите задачу: найти длину гипотенузы , если известно, что AB=3 и угол BAC при этой стороне равен 30°.РешениеИспользуйте тригонометрическую формулу:AC = AB/cos30° = 3 2/√3 = 2 √3.