Найти наименьшее общее. Общий делитель и кратное

Наибольший общий делитель

Определение 2

Если натуральное число a делится на натуральное число $b$, то $b$ называют делителем числа $a$, а число $a$ называют кратным числа $b$.

Пусть $a$ и $b$-натуральные числа. Число $c$ называют общим делителем и для $a$ и для $b$.

Множество общих делителей чисел $a$ и $b$ конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем $a$. Значит,среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел $a$ и $b$ и для его обозначения используют записи:

$НОД \ (a;b) \ или \ D \ (a;b)$

Чтобы найти наибольший общий делитель двух, чисел необходимо:

1. Найти произведение чисел, найденных на шаге 2. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 1

Найти НОД чисел $121$ и $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

$НОД=2\cdot 11=22$

Пример 2

Найти НОД одночленов $63$ и $81$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого:

Разложим числа на простые множители

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Найдем произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

$НОД=3\cdot 3=9$

Найти НОД двух чисел можно и по-другому, используя множество делителей чисел.

Пример 3

Найти НОД чисел $48$ и $60$.

Решение:

Найдем множество делителей числа $48$: $\left\{{\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48}\right\}$

Теперь найдем множество делителей числа $60$:$\ \left\{{\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}\right\}$

Найдем пересечение этих множеств: $\left\{{\rm 1,2,3,4,6,12}\right\}$- данное множество будет определять множество общих делителей чисел $48$ и $60$. Наибольший элемент в данном множестве будет число $12$. Значит наибольший общий делитель чисел $48$ и $60$ будет $12$.

Определение НОК

Определение 3

Общим кратным натуральных чисел $a$ и $b$ называется натуральное число, которое кратно и $a$ и $b$.

Общими кратными чисел называются числа которые делятся на исходные без остатка.Например для чисел $25$ и $50$ общими кратными будут числа $50,100,150,200$ и т.д

Наименьшее из общих кратных будет называться наименьшим общим кратным и обозначается НОК$(a;b)$ или K$(a;b).$

Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:

1. Разложить числа на простые множители
2. Выписать множители, входящие в состав первого числа и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

Пример 4

Найти НОК чисел $99$ и $77$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

Разложить числа на простые множители

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Выписать множители, входящие в состав первого

добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

$НОК=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Составление списков делителей чисел часто очень трудоемкое занятие. Существует способ нахождение НОД, называемый алгоритмом Евклида.

Утверждения, на которых основан алгоритм Евклида:

Если $a$ и $b$ --натуральные числа, причем $a\vdots b$, то $D(a;b)=b$

Если $a$ и $b$ --натуральные числа, такие что $b

Пользуясь $D(a;b)= D(a-b;b)$, можно последовательно уменьшать рассматриваемые числа до тех пор, пока не дойдем до такой пары чисел, что одно из них делится на другое. Тогда меньшее из этих чисел и будет искомым наибольшим общим делителем для чисел $a$ и $b$.

Свойства НОД и НОК

1. Любое общее кратное чисел $a$ и $b$ делится на K$(a;b)$
2. Если $a\vdots b$ , то К$(a;b)=a$

Если К$(a;b)=k$ и $m$-натуральное число, то К$(am;bm)=km$

Если $d$-общий делитель для $a$ и $b$,то К($\frac{a}{d};\frac{b}{d}$)=$\ \frac{k}{d}$

Если $a\vdots c$ и $b\vdots c$ ,то $\frac{ab}{c}$ - общее кратное чисел $a$ и $b$

Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Любой общийй делитель чисел $a$ и $b$ является делителем числа $D(a;b)$

Рассмотрим решение следующей задачи. Шаг мальчика составляет 75 см, а шаг девочки 60 см. Необходимо найти наименьшее расстояние, на котором они оба сделают по целому числу шагов.

Решение. Весь путь который пройдут ребята, должен делиться без остатка на 60 и на 70, так как они должны сделать каждый целое число шагов. Другими словами, в ответе должно быть число, кратное как 75 так и 60.

Сначала будем выписывать все кратные числа, для числа 75. Получаем:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Теперь выпишем числа, которые будут кратны 60. Получаем:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Теперь находим числа которые есть в обоих рядах.

• Общими кратными чисел будут числа, 300, 600, и т.д.

Самое наименьшее из них, это число 300. Оно в данном случае будет называться наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Возвращаясь к условию задачи, наименьшее расстояние, на котором ребята сделают целое число шагов будет 300 см. Мальчик пройдет этот путь за 4 шага, а девочке потребуется сделать 5 шагов.

Определение наименьшего общего кратного

• Наименьшим общим кратным двух натуральных чисел a и b называется наименьшее натуральное число, которое кратно как a, так и b.

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, не обязательно выписывть подряд все кратные для этих чисел.

Можно воспользоваться следующим методом.

Как найти наименьшее общее кратное

Сначала необходимо разложить данные числа на простые множители.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Теперь выпишем все множители которые есть в разложении первого числа (2,2,3,5) и добавим к нему все недостающие множители из разложения второго числа (5).

Получим в итоге ряд простых чисел: 2,2,3,5,5. Произведение этих чисел и будет наименьшим общим сомножителем для данных чисел. 2*2*3*5*5 = 300.

Общая схема нахождения наименьшего общего кратного

• 1. Разложить числа на простые множители.
• 2. Выписать простые множители которые входят в состав одного из них.
• 3. Добавить к этим множителям все те, которые есть в разложении остальных, но нет в выбранном.
• 4. Найти произведение всех выписанных сомножителей.

Данный способ универсален. С его помощью можно найти наименьшее общее кратное любого количества натуральных чисел.

Как найти наименьшее общее кратное?

Нужно найти каждый множитель каждого из двух чисел, у которых находим наименьшее общее кратное, а потом перемножить друг на друга множители, которые совпали у первого и второго числа. Результатом произведения будет искомое кратное.

Например у нас есть числа 3 и 5 и нам надо найти НОК(наименьшее общее кратное). Нам надо умножать и тройку и пятрку на все числа начиная с 1 2 3 ... и т д пока мы не увидим одинаковое число и там и там.

Множим тройку и получаем: 3, 6, 9, 12, 15

Множим пятрку и получаем: 5, 10, 15

Метод разложения на простые множители - самый классический для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) для нескольких чисел. Наглядно и просто продемонстрирован этот метод в следующем видеоролике:

Складывать, умножать, делить, приводить к общему знаменателю и другие арифметические действия очень увлекательное занятие, особенно восхищают примеры, занимающие целый лист.

Итак найти общее кратное для двух чисел, которое будет являться самым маленьким числом на которое делятся два числа. Хочу заметить, что не обязательно в дальнейшем прибегать к формулам, чтобы найти искомое, если можешь считать в уме (а это можно натренировать), то цифры сами всплывают в голове и потом дроби щелкаются как орешки.

Для начала усвоим, что можно умножить два числа друг на друга, а потом эту цифру уменьшать и делить поочередно на данные два числа, так мы найдем наименьшее кратное.

Например, два числа 15 и 6. Умножаем и получаем 90. Это явно больше число. Причем 15 делится на 3 и 6 делится на 3, значит 90 тоже делим на 3. Получаем 30. Пробуем 30 разделить 15 равно 2. И 30 делим 6 равно 5. Так как 2 это предел, то получается, что наименьшее кратное для чисел 15 и 6 будет 30.

С цифрами побольше будет немного трудней. но если знать, какие цифры дают нулевой остаток при делении или умножении, то трудностей, в принципе, больших нет.

• Как найти НОК

  Вот видео, в котором вам будет предложено два способа нахождения наименьшего общего кратного (НОК). Поупражнявшись в использовании первого из предложенных способов, вы сможете лучше понять, что такое наименьшее общее кратное.

Представляю ещ один способ нахождения наименьшего общего кратного. Рассмотрим его на наглядном примере.

Необходимо найти НОК сразу трх чисел: 16, 20 и 28.

• Представляем каждое число как произведение его простых множителей:
• Записываем степени всех простых множителей:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Выбираем все простые делители (множители) с наибольшими степенями, перемножаем их и находим НОК:

НОК = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

НОК(16, 20, 28) = 560.

Таким образом, в итоге расчета получилось число 560. Оно является наименьшим общим кратным, то есть делится на каждое из трх чисел без остатка.

Наименьшее общее кратное число - это такая цифра, которая разделится на несколько предложенных чисел без остатка. Для того, чтобы такую цифру высчитать, надо взять каждое число и разложить его на простые множители. Те цифры, которые совпадают, убираем. Оставляет всех по одной, перемножаем их между собой по очереди и получаем искомое - наименьшее общее кратное.

НОК, или наименьшее общее кратное , - это наименьшее натуральное число двух и более чисел, которое делится на каждое из данных чисел без остатка.

Вот пример того, как найти наименьшее общее кратное 30 и 42.

• Первым делом нужно разложить данные числа на простые множители.

Для 30 - это 2 х 3 х 5.

Для 42 - это 2 х 3 х 7. Так как 2 и 3 имеются в разложении числа 30, то вычеркиваем их.

• Выписываем множители, которые входят в разложение числа 30. Это 2 х 3 х 5 .
• Теперь нужно домножить их на недостающий множитель, который имеем при разложении 42,а это 7. Получаем 2 х 3 х 5 х 7.
• Находим, чему равно 2 х 3 х 5 х 7 и получаем 210.

В итоге получаем, что НОК чисел 30 и 42 равен 210.

Чтобы найти наименьшее общее кратное , нужно выполнить последовательно несколько простых действий. Рассмотрим это на примере двух чисел: 8 и 12

1. Разлагаем оба числа на простые множители: 8=2*2*2 и 12=3*2*2
2. Сокращаем одинаковые множители у одного из чисел. В нашем случае совпадают 2*2, сократим их для числа 12, тогда у 12 останется один множитель: 3.
3. Находим произведение всех оставшихся множителей: 2*2*2*3=24

Проверяя, убеждаемся, что 24 делится и на 8 и на 12, причем это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел. Вот мы и нашли наименьшее общее кратное .

Попробую объяснить на примере цифр 6 и 8. Наименьшее общее кратное - это число, которое можно разделить на эти числа(в нашем случае 6 и 8) и остатка не будет.

Итак, начинаем умножать сначала 6 на 1, 2, 3 и т. д и 8 на 1, 2, 3 и т. д.

Чтобы понять, как вычислять НОК, следует определиться в первую очередь со значением термина "кратное".

Кратным числу А называют такое натуральное число, которое без остатка делится на А. Так, числами кратными 5 можно считать 15, 20, 25 и так далее.

Делителей конкретного числа может быть ограниченное количество, а вот кратных бесконечное множество.

Общее кратное натуральных чисел - число, которое делится на них без остатка.

Как найти наименьшее общее кратное чисел

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел (двух, трех или больше) - это самое маленькое натурально число, которое делится на все эти числа нацело.

Чтобы найти НОК, можно использовать несколько способов.

Для небольших чисел удобно выписать в строчку все кратные этих чисел до тех пор, пока среди них не найдется общее. Кратные обозначают в записи заглавной буквой К.

Например, кратные числа 4 можно записать так:

К (4) = {8,12, 16, 20, 24, ...}

К (6) = {12, 18, 24, ...}

Так, можно увидеть, что наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 24. Эту запись выполняют следующим образом:

НОК (4, 6) = 24

Если числа большие, найти общее кратное трех и более чисел, то лучше использовать другой способ вычисления НОК.

Для выполнения задания необходимо разложить предложенные числа на простые множители.

Сначала нужно выписать в строчку разложение наибольшего из чисел, а под ним - остальных.

В разложении каждого числа может присутствовать различное количество множителей.

Например, разложим на простые множители числа 50 и 20.

В разложении меньшего числа следует подчеркнуть множители, которые отсутствуют в разложении первого самого большого числа, а затем их добавить к нему. В представленном примере не хватает двойки.

Теперь можно вычислить наименьшее общее кратное 20 и 50.

НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Так, произведение простых множителей большего числа и множителей второго числа, которые не вошли в разложение большего, будет наименьшим общим кратным.

Чтобы найти НОК трех чисел и более, следует их все разложить на простые множители, как и в предыдущем случае.

В качестве примера можно найти наименьшее общее кратное чисел 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Так, в разложение большего числа на множители не вошли только две двойки из разложения шестнадцати (одна есть в разложении двадцати четырех).

Таким образом, их нужно добавить к разложению большего числа.

НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Существуют частные случаи определения наименьшего общего кратного. Так, если одно из чисел можно поделить без остатка на другое, то большее из этих чисел и будет наименьшим общим кратным.

Например, НОК двенадцати и двадцати четырех будет двадцать четыре.

Если необходимо найти наименьшее общее кратное взаимно простых чисел, не имеющих одинаковых делителей, то их НОК будет равняться их произведению.

Например, НОК (10, 11) = 110.