Решить дробные числа. Действия с обыкновенными дробями
В 5 классе средней школы вводится представление дроби. Дробь – это число, состоящее из целого числа долей единиц. Обычные дроби записываются в виде ±m/n, число m называют числителем дроби, число n – его знаменателем. Если модуль знаменателя огромнее модуля числителя, скажем 3/4, то дробь именуется верной, в отвратном случае – неправильной. Дробь может содержать целую часть, скажем 5 * (2/3).К дробям дозволено использовать разные арифметические операции.
Инструкция
1. Приведение к всеобщему знаменателю.Пускай даны дроби a/b и c/d.- В первую очередь находится число НОК(наименьшее всеобщее кратное) для знаменателей дробей.- Числитель и знаменатель первой дроби умножается на НОК/b- Числитель и знаменатель 2-й дроби умножается на НОК/dПример приведён на рисунке.Для сопоставления дробей их нужно привести к всеобщему знаменателю, после этого сравнить числители. Скажем, 3/4 < 4/5, см. рисунок.
2. Сложение и вычитание дробей.Для нахождения суммы 2-х обычных дробей их нужно привести к всеобщему знаменателю, позже чего сложить числители, оставив знаменатель без изменений. Пример сложения дробей 1/2 и 1/3 приведён на рисунке.Разность дробей находится аналогичным образом, позже нахождения всеобщего знаменателя, числители дробей вычитаются, см. пример на рисунке.
3. Умножение и деление дробей.При умножении обычных дробей, числители и знаменатели перемножаются между собой.Для того, дабы поделить две дроби, нужно получить дробь обратную 2-й дроби, т.е. поменять его числитель и знаменатель местами, позже чего произвести умножение полученных дробей.
Модуль представляет собой безусловную величину выражения. Для обозначения модуля используют прямые скобки. Арестанты в них значения считаются взятыми по модулю. Решение модуля состоит в раскрытии модульных скобок по определенным правилам и нахождении множества значений выражения. В большинстве случаев модуль раскрывается таким образом, что подмодульное выражение получает ряд позитивных и негативных значений с том числе и нулевое значение. Исходя из данных свойств модуля, составляются и решаются дальше уравнения и неравенства начального выражения.
Инструкция
1. Запишите начальное уравнение с модулем. Для его решения раскройте модуль. Разглядите всякое подмодульное выражение. Определите, при каком значении входящих в него незнакомых величин выражение в модульных скобках обращается в нуль.
2. Для этого приравняйте подмодульное выражение к нулю и обнаружьте решение получившегося уравнения. Запишите обнаруженные значения. Таким же образом определите значения незнакомой переменной для всего модуля в заданном уравнении.
3. Разглядите случаи существования переменных, когда они хороши от нуля. Для этого запишите систему неравенств для всех модулей начального уравнения. Неравенства обязаны охватывать все допустимые значения переменной на числовой прямой.
4. Нарисуйте числовую прямую и отложите на ней полученные значения. Значения переменной в нулевом модуле будут служить ограничениями при решении модульного уравнения.
5. В начальном уравнении надобно раскрыть модульные скобки, меняя знак выражения так, дабы значения переменной соответствовали отображенным на числовой прямой. Решите полученное уравнение. Обнаруженное значение переменной проверьте на лимитация, заданное модулем. Если решение удовлетворяет условию, значит оно правдиво. Не удовлетворяющие ограничениям корни обязаны отбрасываться.
6. Аналогичным образом раскрывайте модули начального выражения с учетом знака и высчитывайте корни получаемого уравнения. Запишите все полученные корни, удовлетворяющие неравенствам ограничения.
Дробные числа разрешают выражать в различном виде точное значение величины. С дробями дозволено исполнять те же математические операции, что и с целыми числами: вычитание, сложение, умножение и деление. Дабы обучиться решать дроби , нужно помнить о некоторых их особенностях. Они зависят от вида дроби , наличия целой части, всеобщего знаменателя. Некоторые арифметические действия позже выполнения требуют сокращения дробной части итога.
Вам понадобится
- — калькулятор
Инструкция
1. Наблюдательно посмотрите на данные числа. Если среди дробей есть десятичные и непрвильные, изредка комфортнее сначала исполнить действия с десятичными, а после этого перевести их в неверный вид. Можете перевести дроби в такой вид первоначально, записав значение позже запятой в числитель и поставив 10 в знаменатель. При необходимости сократите дробь, поделив числа выше и ниже черты на один делитель. Дроби, в которых выдается целая часть, приведите к неправильному виду, умножив её на знаменатель и прибавив к итогу числитель. Данное значения станет новым числителем дроби . Дабы выделить целую часть из изначально неправильной дроби , нужно поделить числитель на знаменатель. Целый итог записать слева от дроби . А остаток от деления станет новым числителем, знаменатель дроби при этом не меняется. Для дробей с целой частью допустимо выполнение действий отдельно вначале для целой, а после этого для дробной частей. Скажем, сумма 1 2/3 и 2 ? может быть вычислена двумя методами:- Переведение дробей в неверный вид:- 1 2/3 + 2 ? = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;- Суммирование отдельно целых и дробных частей слагаемых:- 1 2/3 + 2 ? = (1+2) + (2/3 + ?) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12.
2. Для неправильных дробей с различными значениями под чертой обнаружьте всеобщий знаменатель. Скажем, для 5/9 и 7/12 всеобщим знаменателем будет 36. Для этого числитель и знаменатель первой дроби нужно умножить на 4 (получится 28/36), а 2-й – на 3 (получится 15/36). Сейчас можете исполнить нужные расчёты.
3. Если вы собираетесь вычислять сумму либо разность дробей, для начала запишите обнаруженный всеобщий знаменатель под черту. Исполните нужные действия между числителями, а итог запишите над чертой новой дроби . Таким образом, новым числителем станет разность либо сумма числителей изначальных дробей.
4. Для расчёта произведения дробей перемножьте числители дробей и запишите итог на место числителя итоговой дроби . То же самое проделайте для знаменателей. При делении одной дроби на иную запишите одну дробь, а после этого умножьте её числитель на знаменатель 2-й. При этом знаменатель первой дроби умножается соответственно на числитель 2-й. При этом происходит оригинальный переворот 2-й дроби (делителя). Итоговая дробь будет состоять из итогов умножения числителей и знаменателей обеих дробей. Нетрудно обучиться решать дроби , записанные в условии в виде «четырёхэтажной» дроби . Если черта разделяет две дроби , перепишите их через разграничитель «:» и продолжите обыкновенное деление.
5. Для приобретения финального итога полученную дробь сократите, поделив числитель и знаменатель на одно целое число, наибольшее допустимое в данном случае. При этом выше и ниже черты обязаны быть целые числа.
Обратите внимание!
Не исполняйте арифметические действия с дробями, знаменатели которых отличаются. Подберите такое число, дабы при умножении на него числителя и знаменателя всякой дроби в итоге знаменатели обеих дробей были равны.
Полезный совет
При записи дробных чисел делимое пишется над чертой. Эта величина обозначается как числитель дроби. Под чертой записывается делитель, либо знаменатель, дроби. Скажем, полтора килограмма риса в виде дроби запишется дальнейшим образом: 1 ? кг риса. Если знаменатель дроби равен 10, такую дробь называют десятичной. При этом числитель (делимое) пишется справа от целой части через запятую: 1,5 кг риса. Для комфорта вычислений такую дробь неизменно дозволено записать в неправильном виде: 1 2/10 кг картофеля. Для облегчения дозволено сократить значения числителя и знаменателя, поделив их на одно целое число. В данном примере допустимо деление на 2. В итоге получится 1 1/5 кг картофеля. Удостоверьтесь, что числа, с которыми вы собираетесь исполнять арифметические действия, представлены в одном виде.
Если вы пишете курсовую работу либо составляете какой-нибудь иной документ, содержащий расчетную часть, то вам никуда не деться от дробных выражений, которые также надобно напечатать. Как это сделать, разглядим дальше.
Инструкция
1. Кликните один раз по пункту меню «Вставка», после этого выберите пункт «Символ». Это один из самых примитивных методов вставки дроби в текст. Заключается он в дальнейшем. В комплекте готовых символов есть дроби . Их число, как водится, невелико, но если вам в тексте необходимо написать?, а не 1/2, то для вас сходственный вариант будетсамым оптимальным. Помимо того, число символов дробей может зависеть и от шрифта. Скажем, для шрифта Times New Roman дробей немножко поменьше, чем для того же Arial. Варьируйте шрифтами, дабы обнаружить самый наилучший вариант, если дело касается примитивных выражений.
2. Кликните по пункту меню «Вставка» и выберите подпункт «Объект». Перед вами появится окно с перечнем допустимых объектов для вставки. Выберите среди них Microsoft Equation 3.0. Это приложение поможет вам печатать дроби . Причем не только дроби , но и трудные математические выражения, содержащие разные тригонометрические функции и прочие элементы. Двукратно кликните по этому объекту левой кнопкой мышки. Перед вами появится окно, содержащее много символов.
3. Дабы напечатать дробь, выберите символ изображающий дробь с пустым числителем и знаменателем. Кликните по нему один раз левой кнопкой мыши. Появится дополнительное меню, уточняющее схему самой дроби . Может быть несколько ее вариантов. Выберите особенно для вас подходящий и кликните по нему один раз левой кнопкой мыши.
4. Введите в числителе и знаменателе дроби все необходимые данные. Это будет протекать теснее непринужденно на листе документа. Дробь будет вставлена отдельным объектом, тот, что в случае необходимости дозволено переместить в всякое место документа. Вы можете напечатать многоэтажные дроби . Для этого разместите в числитель либо знаменатель (как вам надобно) еще одну дробь, которую дозволено предпочесть в окне того же приложения.
Видео по теме
Алгебраическая дробь - это выражение вида А/В, где буквы А и В обозначают всякие числовые либо буквенные выражения. Нередко числитель и знаменатель в алгебраических дробях имеют массивный вид, но действия с такими дробями следует делать по тем же правилам, что и действия с обычными, где числитель и знаменатель - целые правильные числа.
Инструкция
1. Если даны смешанные дроби , переведите их в неправильные (дробь, в которой числитель огромнее знаменателя): умножьте знаменатель на целую часть и прибавьте числитель. Так число 2 1/3 превратится в 7/3. Для этого 3 умножают на 2 и прибавляют единицу.
2. Если нужно перевести десятичную дробь в неправильную, то представьте ее как деление числа без запятой на единицу со столькими нулями, сколько чисел стоит позже запятой. Скажем, число 2,5 представьте как 25/10 (если сократить, то получится 5/2), а число 3,61 — как 361/100. Оперировать с неправильными дробями нередко легче, чем со смешанными либо десятичными.
3. Если дроби имеют идентичные знаменатели, а вам нужно их сложить, то примитивно сложите числители; знаменатели остаются без изменений.
4. При необходимости произвести вычитание дробей с идентичными знаменателями из числителя первой дроби вычтите числитель 2-й дроби. Знаменатели при этом также не меняются.
5. Если нужно сложить дроби либо вычесть одну дробь из иной, а они имеют различные знаменатели, приведите дроби к всеобщему знаменателю. Для этого обнаружьте число, которое будет наименьшим всеобщим кратным (НОК) обоим знаменателям либо нескольким, если дробей огромнее 2-х. НОК - это число, которое разделится на знаменатели всех данных дробей. К примеру, для 2 и 5 это число 10.
6. Позже знака «равно» проведите горизонтальную черту и запишите в знаменатель это число (НОК). Проставьте к всякому слагаемому добавочные множители - то число, на которое нужно домножить и числитель, и знаменатель, дабы получить НОК. Ступенчато умножайте числители на добавочные множители, сберегая знак сложения либо вычитания.
7. Посчитайте итог, сократите его при необходимости либо выделите целую часть. Для примера — нужно сложить? и?. НОК для обеих дробей - 12. Тогда добавочный множитель к первой дроби - 4, ко 2-й - 3. Итого: ?+?=(1·4+1·3)/12=7/12.
8. Если дан пример на умножение, перемножьте между собой числители (это будет числитель итога) и знаменатели (получится знаменатель итога). В этом случае к всеобщему знаменателю их приводить не нужно.
9. Дабы поделить дробь на дробь, нужно опрокинуть вторую дробь «вверх ногами» и перемножить дроби. То есть а/b: с/d = a/b · d/c.
10. Раскладывайте числитель и знаменатель на множители, если это требуется. Скажем, переносите всеобщий множитель за скобку либо раскладывайте по формулам сокращённого умножения, дабы после этого дозволено было при необходимости сократить числитель и знаменатель на НОД — минимальный всеобщий делитель.
Обратите внимание!
Числа складывайте с числами, буквы одного рода с буквами того же рода. Скажем, невозможно сложить 3a и 4b, значит в числителе так и останется их сумма либо разность - 3a±4b.
Видео по теме
) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).
Формула умножения дробей:
Например:
Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.
Деление обыкновенной дроби на дробь.
Деление дробей с участием натурального числа.
Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:
Умножение смешанных дробей.
Правила умножения дробей (смешанных):
- преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
- перемножаем числители и знаменатели дробей;
- сокращаем дробь;
- если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.
Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.
Второй способ умножения дроби на натуральное число.
Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.
Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.
Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.
Многоэтажные дроби.
В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:
Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:
Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.
Обратите внимание, например:
При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:
Практические советы при умножении и делении дробей:
1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.
2. В заданиях с разными видами дробей - переходите к виду обыкновенных дробей.
3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.
4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.
5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.
Действия с дробями.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Итак, что из себя представляют дроби, виды дробей, преобразования - мы вспомнили. Займёмся главным вопросом.
Что можно делать с дробями? Да всё то, что и с обычными числами. Складывать, вычитать, умножать, делить.
Все эти действия с десятичными дробями ничем не отличаются от действий с целыми числами. Собственно, этим они и хороши, десятичные. Единственно, запятую правильно поставить надо.
Смешанные числа , как я уже говорил, малопригодны для большинства действий. Их всё равно надо переводить в обыкновенные дроби.
А вот действия с обыкновенными дробями похитрее будут. И гораздо важнее! Напомню: все действия с дробными выражениями с буковками, синусами, неизвестными и прочая и прочая ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями ! Действия с обыкновенными дробями - это основа для всей алгебры. Именно по этой причине мы очень подробно разберём здесь всю эту арифметику.
Сложение и вычитание дробей.
Сложить (отнять) дроби с одинаковыми знаменателями каждый сможет (очень надеюсь!). Ну уж совсем забывчивым напомню: при сложении (вычитании) знаменатель не меняется. Числители складываются (вычитаются) и дают числитель результата. Типа:
Короче, в общем виде:
А если знаменатели разные? Тогда, используя основное свойство дроби (вот оно и опять пригодилось!), делаем знаменатели одинаковыми! Например:
Здесь нам из дроби 2/5 пришлось сделать дробь 4/10. Исключительно с целью сделать знаменатели одинаковыми. Замечу, на всякий случай, что 2/5 и 4/10 это одна и та же дробь ! Только 2/5 нам неудобно, а 4/10 очень даже ничего.
Кстати, в этом суть решений любых заданий по математике. Когда мы из неудобного выражения делаем то же самое, но уже удобное для решения .
Ещё пример:
Ситуация аналогичная. Здесь мы из 16 делаем 48. Простым умножением на 3. Это всё понятно. Но вот нам попалось что-нибудь типа:
Как быть?! Из семёрки девятку трудно сделать! Но мы умные, мы правила знаем! Преобразуем каждую дробь так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Это называется «приведём к общему знаменателю»:
Во как! Откуда же я узнал про 63? Очень просто! 63 это число, которое нацело делится на 7 и 9 одновременно. Такое число всегда можно получить перемножением знаменателей. Если мы какое-то число умножили на 7, к примеру, то результат уж точно на 7 делиться будет!
Если надо сложить (вычесть) несколько дробей, нет нужды делать это попарно, по шагам. Просто надо найти знаменатель, общий для всех дробей, и привести каждую дробь к этому самому знаменателю. Например:
И какой же общий знаменатель будет? Можно, конечно, перемножить 2, 4, 8, и 16. Получим 1024. Кошмар. Проще прикинуть, что число 16 отлично делится и на 2, и на 4, и на 8. Следовательно, из этих чисел легко получить 16. Это число и будет общим знаменателем. 1/2 превратим в 8/16, 3/4 в 12/16, ну и так далее.
Кстати, если за общий знаменатель взять 1024, тоже всё получится, в конце всё посокращается. Только до этого конца не все доберутся, из-за вычислений...
Дорешайте уж пример самостоятельно. Не логарифм какой... Должно получиться 29/16.
Итак, со сложением (вычитанием) дробей ясно, надеюсь? Конечно, проще работать в сокращённом варианте, с дополнительными множителями. Но это удовольствие доступно тем, кто честно трудился в младших классах... И ничего не забыл.
А сейчас мы поделаем те же самые действия, но не с дробями, а с дробными выражениями . Здесь обнаружатся новые грабли, да...
Итак, нам надо сложить два дробных выражения:
Надо сделать знаменатели одинаковыми. Причём только с помощью умножения ! Уж так основное свойство дроби велит. Поэтому я не могу в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. (а вот бы хорошо было!). А вот если перемножить знаменатели, глядишь, всё и срастётся! Так и записываем, черту дроби, сверху пустое место оставим, потом допишем, а снизу пишем произведение знаменателей, чтобы не забыть:
И, конечно, ничего в правой части не перемножаем, скобки не открываем! А теперь, глядя на общий знаменатель правой части, соображаем: чтобы в первой дроби получился знаменатель х(х+1), надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на (х+1). А во второй дроби - на х. Получится вот что:
Обратите внимание! Здесь появились скобки! Это и есть те грабли, на которые многие наступают. Не скобки, конечно, а их отсутствие. Скобки появляются потому, что мы умножаем весь числитель и весь знаменатель! А не их отдельные кусочки...
В числителе правой части записываем сумму числителей, всё как в числовых дробях, затем раскрываем скобки в числителе правой части, т.е. перемножаем всё и приводим подобные. Раскрывать скобки в знаменателях, перемножать что-то не нужно! Вообще, в знаменателях (любых) всегда приятнее произведение! Получим:
Вот и получили ответ. Процесс кажется долгим и трудным, но это от практики зависит. Порешаете примеры, привыкните, всё станет просто. Те, кто освоил дроби в положенное время, все эти операции одной левой делают, на автомате!
И ещё одно замечание. Многие лихо расправляются с дробями, но зависают на примерах с целыми числами. Типа: 2 + 1/2 + 3/4= ? Куда пристегнуть двойку? Никуда не надо пристёгивать, надо из двойки дробь сделать. Это не просто, а очень просто! 2=2/1. Вот так. Любое целое число можно записать в виде дроби. В числителе - само число, в знаменателе - единица. 7 это 7/1, 3 это 3/1 и так далее. С буквами - то же самое. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 и т.д. А дальше работаем с этим дробями по всем правилам.
Ну, по сложению - вычитанию дробей знания освежили. Преобразования дробей из одного вида в другой - повторили. Можно и провериться. Порешаем немного?)
Вычислить:
Ответы (в беспорядке):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Умножение/деление дробей - в следующем уроке. Там же и задания на все действия с дробями.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Сама столкнулась с тем, что дроби оказались достаточно сложной темой для моих детей.
Есть очень хорошая игра Дроби Никитина, она предназначена для дошкольников, но и в школе отлично поможет ребенку разобраться, что же все-таки это такое - дроби, их соотношение друг к другу..., причем все в доступной, наглядной и увлекательной форме.
Представляет она из себя двенадцать разноцветных кругов. Один круг - целый, а все остальные поделены на равные части - две, три.... (до двенадцати).
Ребнку предлагается выполнить несложные игровые задания, например:
Как называютсячасти кружков? или
Какая часть больше? (наложить меньшую на большую.)
Моим эта методика помогла. Вообще очень жалею, что все эти Никитинские развивашки не попались на глаза, когда дети были еще малышами.
Игру можно сделать самостоятельно или купить готовую, а узнать обо всем подробней - .
Решение дробей можно объяснить и на кубиках Lego. Он развивает не только воображение, но и творческое и логическое мышление, а значит, его можно использовать и как учебное пособие.
Алишия Зиммерман придумала использовать кубики известного конструктора для обучения детей основам математики.
И вот как на основе конструктора Lego можно объяснить дроби.
Практика показывает, что больше всего трудностей возникает при сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями и при делении дробей.
Трудности возникают из-за кривых указаний в учебнике, как, например, разделить дробь на дробь.
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель второй дроби на знаменатель первой дроби.
Может ли ребенок в 4 классе это понять и не запутаться? НЕТ!
А нам учительница объяснила элементарно: нужно вторую дробь перевернуть, а потом умножить!
Тоже самое со сложением.
Чтобы сложить две дроби, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби, полученные числа сложить и записать в числитель. А в знаменатель нужно записать произведение знаменателей дробей. После этого полученную дробь можно (или нужно) сократить.
А проще так: Приведите дроби к общему знаменателю, который равен НОК знаменателей, а потом сложите числители.
Показать им на наглядном примере. Например, яблоко разрежьте на 4 части, на 8, на 12 сложите в целое, сложите несколько частей, отнимите. При этом на бумаге объясняйте с использованием правил. Правила сложения, вычитания. деления дробей, а так же как из неправильной дроби выделить целое - вс это учите в ходе манипуляций с яблоком. Не торопите детей, пусть внимательно с вашей помощью разберутся с дольками.
Научить решать дроби, в частности детей, это дело вполне обычно и не создаст много хлопот. Самое просто что можно сделать, это взять что-то целое, например мандарин, или любой другой плод, разделить его не части, и на примере показывать вычитания, сложение и другие операции с кусочками этого плода, что и будет дробями от целого. Все нужно объяснять и показывать, и завершающим фактором будет на математических примерах объяснять и решать задания совместно, пока ребенок сам не научиться делать эти задания.
На рисунке наглядно видно что чему соответствует и как смотрится дробь на реальном предмете, именно так и нужно объяснять.
Вам к этому вопросу, нужно подойти основательно, так как решение дробей в жизни пригодится. Нужно в этом вопросе, как говорится, с детьми быть на равных, и объяснять теорию на им доступном языке, например на языке торта или мандарина. Нужно делить торт на до и раздавать друзьям, после чего ребенок начнет вникать в суть решения дробей. Не начинайте с тяжелых дробей, начните с понятий 1/2, 1/3, 1/10. Сначала отнимайте и прибавляйте, а потом переходите на более сложные понятия как умножение и деление.
Проблемы с дробями бывают разные. Один ребнок не может понять, что одна вторая и пять десятых - это одно и то же, у других вызывает недоумение приведение различных дробей к одному знаменателю, у третьих - деление дробей. Поэтому и одного правила на все случаи жизни нет.
Главное в задачах на дроби - не упустить момент, когда понятное перестат таковым быть. Возвращаться к печке и повторять вс сначала, даже если оно кажется убого-примитивным. Например, вернуться к тому, что такое одна вторая .
Ребнок должен понять, что математические понятия - абстрактны, что одно и то же явление можно описать разными словами, выразить разными числами.
Мне нравится ответ, данный Mefody66. Добавлю из личной многолетней практики: научить решать задачи с дробями (а не решать дроби; решать дроби нельзя, равно как невозможно решать числа) довольно несложно, надо лишь быть рядом с ребенком, когда он только приступает к решению таких задач, вовремя корректировать его решение, дабы ошибки, которые неизбежны при любом обучении, не успели закрепиться в сознании ребенка. Переучивать сложнее, чем учить новое. И как можно больше решать таких задач. Довести до автоматизма решение таких заданий - вот это хорошо бы сделать. Умение решать задачи с обыкновенными дробями по важности в школьном курсе математики занимает такое же место, как и знание таблицы умножения. Так что надо не полениться и проследить, как ваш ребенок решает такие задачи.
И не очень опирайтесь при этом на учебник: учителя в школах объясняют именно так, как писал в своем ответе Mefody66. Лучше поговорить с учителем, выяснить, какими словами учитель объяснял эту тему. И использовать по возможности те же слова и фразы (чтобы не сильно запутывать ребенка)
Еще: наглядные примеры использовать советую лишь на начальном этапе объяснения, потом побыстрее абстрагироваться, переходить к алгоритму решения. Иначе наглядность может повредить при решении более сложных задач. Например, если надо сложить дроби со знаменателями 29 и 121 - какая тут наглядность поможет? Только запутает.
Дроби - одна из тех благодатных математических тем, где нет не приложимых к делу абстракций. В ход идти должны продукты (на тортах , как Хуаните Солис в Отчаянных домохозяйках - реально классный метод объяснений). Все эти числители-знаменатели - потом. Потом нужно, чтобы ребенок понял, что деление на дробь уже и не уменьшение вовсе, а умножение- не прибавка. Тут лучше показать, как делить на дробь в форме умножения на перевертыш. В игровой форме подать сокращение, если делятся на одно число, то делить, почти судоку получается, если заинтересовать. Главное вовремя заметить непонятки, потому что дальше будут темы покруче, которые понять не просто. Поэтому побольше практики решении дробей и все быстро наладится. Мне, гуманитарию наичистейшему, далкому от малейшей степени абстракции, дроби всегда были понятны, чем остальные темы.
Чтобы выразить часть в долях целого, нужно часть разделить на целое.
Задача 1. В классе 30 учащихся, отсутствуют четверо. Какая часть учащихся отсутствует?
Решение:
Ответ: в классе отсутствует учащихся.
Нахождение дроби от числа
Для решения задач, в которых требуется найти часть целого справедливо следующее правило:
Если часть целого выражена дробью, то чтобы найти эту часть, можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель.
Задача 1. Было 600 рублей, этой суммы истратили. Сколько денег истратили?
Решение: чтобы найти от 600 рублей, надо эту сумму разделить на 4 части, тем самым мы узнаем, сколько денег составляет одна четвёртая часть:
600: 4 = 150 (р.)
Ответ: истратили 150 рублей.
Задача 2. Было 1000 рублей, этой суммы истратили. Сколько денег было истрачено?
Решение: из условия задачи мы знаем, что 1000 рублей состоит из пяти равных частей. Сначала найдём сколько рублей составляет одна пятая часть от 1000, а затем узнаем сколько рублей составляют две пятых:
1) 1000: 5 = 200 (р.) - одна пятая часть.
2) 200 · 2 = 400 (р.) - две пятых части.
Эти два действия можно объединить: 1000: 5 · 2 = 400 (р.).
Ответ: было истрачено 400 рублей.
Второй способ нахождения части целого:
Чтобы найти часть целого, можно умножить целое на дробь, выражающую эту часть целого.
Задача 3. По уставу кооператива, для правомочности отчётного собрания на нём должно присутствовать не менее членов организации. В кооперативе 120 членов. При каком составе может состояться отчётное собрание?
Решение:
Ответ: отчётное собрание может состояться при наличии 80 членов организации.
Нахождение числа по его дроби
Для решения задач, в которых требуется найти целое по его части справедливо следующее правило:
Если часть искомого целого выражена дробью, то чтобы найти это целое, можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель.
Задача 1. Потратили 50 рублей, это составило от первоначальной суммы. Найдите первоначальную сумму денег.
Решение: из описания задачи мы видим, что 50 рублей в 6 раз меньше первоначальной суммы, т. е. первоначальная сумма в 6 раз больше, чем 50 рублей. Чтобы найти эту сумму, надо 50 умножить на 6:
50 · 6 = 300 (р.)
Ответ: первоначальная сумма - 300 рублей.
Задача 2. Потратили 600 рублей, это составило от первоначальной суммы денег. Найдите первоначальную сумму.
Решение: будем считать, что искомое число состоит из трёх третьих долей. По условию две трети числа равны 600 рублей. Сначала найдём одну треть от первоначальной суммы, а затем сколько рублей составляют три третьих (первоначальная сумма):
1) 600: 2 · 3 = 900 (р.)
Ответ: первоначальная сумма - 900 рублей.
Второй способ нахождения целого по его части:
Чтобы найти целое по величине выражающей его часть, можно разделить эту величину на дробь, выражающую данную часть.
Задача 3. Отрезок AB , равный 42 см, составляет длины отрезка CD . Найти длину отрезка CD .
Решение:
Ответ: длина отрезка CD 70 см.
Задача 4. В магазин привезли арбузы. До обеда магазин продал , после обеда - привезённых арбузов, и осталось продать 80 арбузов. Сколько всего арбузов привезли в магазин?
Решение: сначала узнаем, какую часть от привезённых арбузов составляет число 80. Для этого примем за единицу общее количество привезённых арбузов и вычтем из неё то количество арбузов, которое получилось реализовать (продать):
И так, мы узнали, что 80 арбузов составляет от общего количества привезённых арбузов. Теперь узнаем сколько арбузов от общего количества составляет , а затем сколько арбузов составляют (количество привезённых арбузов):
2) 80: 4 · 15 = 300 (арбузов)
Ответ: всего в магазин привезли 300 арбузов.