Чему равна высота треугольника вписанного в окружность. Радиус вписанной окружности, формулы, задачи

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Следовательно, он наследует все свойства параллелограмма. А именно:

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов.

Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.
Следовательно, в любой ромб можно вписать окружность. Центр вписанной окружности совпадает с центром пересечения диагоналей ромба.
Радиус вписанной окружности в ромб можно выразить несколькими способами

1 способ. Радиуса вписанной окружности в ромб через высоту

Высота ромба равна диаметру вписанной окружности. Это следует из свойства прямоугольника, который образуют диаметр вписанной окружности и высота ромба – у прямоугольника противолежащие стороны равны.

Следовательно формула радиуса вписанной окружности в ромб через высоту:

2 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через диагонали

Площадь ромба можно выразить через радиус вписанной окружности
, где Р – периметр ромба. Зная, что периметр это сумма всех сторон четырехугольника имеем P= 4×а. Тогда
Но площадь ромба также равна половине произведения его диагоналей
Прировняв правые части формул площади, имеем следующее равенство
В результате получаем формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной окружности в ромб чрез диагонали

Пример расчета радиуса окружности вписанной в ромб, если известны диагонали
Найти радиус окружности вписанной в ромб, если известно, что длина диагоналей 30 см и 40 см
Пусть ABCD -ромб, тогда AC и BD его диагонали. AC= 30 см, BD =40 см
Пусть точка О – это центр вписанной в ромб ABCD окружности, тогда она будет также являться и точкой пересечения его диагоналей, делящих их пополам.


т.к диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то треугольник AOB прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора
, подставляем в формулу ранее полученные значения

AB = 25 см
Применив ранее выведенную формулу для радиуса описанной окружности в ромб, получаем

3 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через отрезки m и n

Точка F – точка касания окружности со стороной ромба, которая делит ее на отрезки AF и BF . Пусть AF= m, BF=n.
Точка O – центр пересечения диагоналей ромба и центр вписанной в него окружности.
Треугольник AOB – прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
, т.к. является радиусом, проведенным в точку касания окружности. Следовательно OF – высота треугольника AOB к гипотенузе. Тогда AF и BF – проекции катетов на гипотенузу.
Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через отрезки равна корню квадратному из произведения этих отрезков, на которые делит сторону ромба точка касания окружности

Как найти радиус окружности? Этот вопрос всегда актуален для школьников, изучающих планиметрию. Ниже мы рассмотрим несколько примеров того, как можно справиться с поставленной задачей.

В зависимости от условия задачи радиус окружности вы можете найти так.

Формула 1: R = Л / 2π, где Л - это а π - константа, равная 3,141…

Формула 2: R = √(S / π), где S - это величина площади круга.

Формула 1: R = В/2, где В - гипотенуза.

Формула 2: R = М*В, где В - гипотенуза, а М - медиана, проведенная к ней.

Как найти радиус окружности, если она описана вокруг правильного многоугольника

Формула: R = А / (2 * sin (360/(2*n))), где А - длина одной из сторон фигуры, а n - количество сторон в данной геометрической фигуре.

Как найти радиус вписанной окружности

Вписанной окружность называется тогда, когда она касается всех сторон многоугольника. Рассмотрим несколько примеров.

Формула 1: R = S / (Р/2), где - S и Р - площадь и периметр фигуры соответственно.

Формула 2: R = (Р/2 - А) * tg (а/2), где Р - периметр, А - длина одной из сторон, а - противолежащий этой стороне угол.

Как найти радиус окружности, если она вписана в прямоугольный треугольник

Формула 1:

Радиус окружности, которая вписана в ромб

Окружность можно вписать в любой ромб, как равносторонний, так и неравносторонний.

Формула 1: R = 2 * Н, где Н - это высота геометрической фигуры.

Формула 2: R = S / (А*2), где S - это а А - длина его стороны.

Формула 3: R = √((S * sin А)/4), где S - это площадь ромба, а sin А - синус острого угла данной геометрической фигуры.

Формула 4: R = В*Г/(√(В² + Г²), где В и Г - это длины диагоналей геометрической фигуры.

Формула 5: R = В*sin (А/2), где В - диагональ ромба, а А - это угол в вершинах, соединяющих диагональ.

Радиус окружности, которая вписана в треугольник

В том случае, если в условии задачи вам даны длины всех сторон фигуры, то сначала высчитайте (П), а затем полупериметр (п):

П = А+Б+В, где А, Б, В - длин сторон геометрической фигуры.

Формула 1: R = √((п-А)*(п-Б)*(п-В)/п).

А если, зная все те же три стороны, вам дана еще и то можете рассчитать искомый радиус следующим образом.

Формула 2: R = S * 2(А + Б + В)

Формула 3: R = S/п = S / (А+Б+В)/2), где - п - это полупериметр геометрической фигуры.

Формула 4: R = (п - А) * tg (А/2), где п - это полупериметр треугольника, А - одна из его сторон, а tg (А/2) - тангенс половины противолежащего этой стороне угла.

А ниже приведенная формула поможет отыскать радиус той окружности, которая вписана в

Формула 5: R =А * √3/6.

Радиус окружности, которая вписана в прямоугольный треугольник

Если в задаче даны длины катетов, а также гипотенуза, то радиус вписанной окружности узнается так.

Формула 1: R = (А+Б-С)/2, где А, Б - катеты, С - гипотенуза.

В том случае, если вам даны только два катета, самое время вспомнить теорему Пифагора, чтобы гипотенузу найти и воспользоваться вышеприведенной формулой.

С = √(А²+Б²).

Радиус окружности, которая вписана в квадрат

Окружность, которая вписана в квадрат, делит все его 4 стороны ровно пополам в точках касания.

Формула 1: R = А/2, где А - длина стороны квадрата.

Формула 2: R = S / (Р/2), где S и Р - площадь и периметр квадрата соответственно.

Если окружность располагается внутри угла и касается его сторон, её называют вписанной в этот угол. Центр такой вписанной окружности располагается на биссектрисе этого угла .

Если же она лежит внутри выпуклого многоугольника и соприкасается со всеми его сторонами, она называется вписанной в выпуклый многоугольник.

Окружность, вписанная в треугольник, соприкасается с каждой стороной этой фигуры лишь в одной точке. В один треугольник возможно вписать лишь одну окружность.

Радиус такой окружности будет зависеть от следующих параметров треугольника:

1. Длин сторон треугольника.
2. Его площади.
3. Его периметра.
4. Величины углов треугольника.

Для того чтобы вычислить радиус вписанной окружности в треугольник, не всегда обязательно знать все перечисленные выше параметры, поскольку они взаимосвязаны между собой через тригонометрические функции.

Вычисление с помощью полупериметра

1. Если известны длины всех сторон геометрической фигуры (обозначим их буквами a, b и c), то вычислять радиус придётся путём извлечения квадратного корня.
2. Приступая к вычислениям, необходимо добавить к исходным данным ещё одну переменную - полупериметр (р). Его можно рассчитать, сложив все длины и полученную сумму разделив на 2. p = (a+b+c)/2. Таким образом можно существенно упростить формулу нахождения радиуса.
3. В целом формула должна включать в себя знак радикала, под который помещается дробь, знаменателем этой дроби будет величина полупериметра р.
4. Числителем данной дроби будет представлять собой произведение разностей (p-a)*(p-b)*(p-c)
5. Таким образом, полный вид формулы будет представлен следующим образом: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Вычисление с учётом площади треугольника

Если нам известна площадь треугольника и длины всех его сторон, это позволит найти радиус интересующей нас окружности, не прибегая к извлечению корней.

1. Для начала нужно удвоить величину площади.
2. Результат делится на сумму длин всех сторон. Тогда формула будет выглядеть следующим образом: r = 2*S/(a+b+c).
3. Если воспользоваться величиной полупериметра, можно получить совсем простую формулу: r = S/p.

Расчёт с помощью тригонометрических функций

Если в условии задачи присутствует длина одной из сторон, величина противоположного угла и периметр, можно воспользоваться тригонометрической функцией - тангенсом. В этом случае формула расчёта будет иметь следующий вид:

r = (P /2- a)* tg (α/2), где r - искомый радиус, Р - периметр, а - значение длины одной из сторон, α - величина противоположного стороне, а угла.

Радиус окружности, которую необходимо будет вписывать в правильный треугольник, можно найти по формуле r = a*√3/6.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

В прямоугольный треугольник можно вписать только одну окружность . Центр такой окружности одновременно служит точкой пересечения всех биссектрис. Эта геометрическая фигура имеет некоторые отличительные черты, которые необходимо учесть, вычисляя радиус вписанной окружности.

1. Для начала необходимо выстроить прямоугольный треугольник с заданными параметрами. Построить такую фигуру можно по размеру её одной стороны и величинам двух углов или же по двум сторонам и углу между этими сторонами. Все эти параметры должны быть указаны в условии задачи. Треугольник обозначается как АВС, причём С - это вершина прямого угла. Катеты при этом обозначаются переменными, а и b , а гипотенуза - переменной с .
2. Для построения классической формулы и вычисления радиуса окружности необходимо найти размеры всех сторон описанной в условии задачи фигуры и по ним вычислить полупериметр. Если в условиях даются размеры двух катетов, по ним можно вычислить величину гипотенузы, исходя из теоремы Пифагора.
3. Если в условии дан размер одного катета и одного угла, необходимо понять, прилежащий этот угол или противолежащий. В первом случае гипотенуза находится с помощью теоремы синусов: с=a/sinСАВ , во втором случае применяют теорему косинусов с=a/cosCBA .
4. Когда все расчёты выполнены и величины всех сторон известны, находят полупериметр по формуле, описанной выше.
5. Зная величину полупериметра, можно найти радиус. Формула представляет собой дробь. Её числителем является произведение разностей полупериметра и каждой из сторон, а знаменателем -величина полупериметра.

Следует заметить, что числитель данной формулы является показателем площади. В этом случае формула нахождения радиуса гораздо упрощается - достаточно разделить площадь на полупериметр.

Определить площадь геометрической фигуры можно и в том случае, если известны оба катета. По сумме квадратов этих катетов находится гипотенуза, далее вычисляется полупериметр. Вычислить площадь можно, умножив друг на друга величины катетов и разделив полученное на 2.

Если в условиях даны длины и катетов и гипотенузы, определить радиус можно по очень простой формуле: для этого складываются длины катетов, из полученного числа вычитается длина гипотенузы. Результат необходимо разделить пополам.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как находить радиус вписанной в треугольник окружности.

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

Окружность вписана в треугольник. В данной статье собрал для вас задачи, в которых даётся треугольник с вписанной в него или описанной около него окружностью. В условии ставится вопрос о нахождении радиуса окружности или стороны треугольника.

Данные задания удобно решать используя представленные формулы. Рекомендую их выучить, бывают очень полезны не только при решении этого типа заданий. Одна формула выражает связь радиуса вписанной в треугольник окружности с его сторонами и площадью, другая радиус описанной около треугольника окружности также с его сторонами и площадью:

S – площадь треугольника

Рассмотрим задачи:

27900. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120 0 . Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

Здесь окружность описана около треугольника.

Первый способ:

Диаметр мы сможем найти, если будет известен радиус. Используем формулу радиуса описанной около треугольника окружности:

где a, b, c – стороны треугольника

S – площадь треугольника

Две стороны нам известны (боковые стороны равнобедренного треугольника), третью мы можем вычислить используя теорему косинусов:

Теперь вычислим площадь треугольника:

*Использовали формулу (2) из .

Вычисляем радиус:

Таким образом диаметр будет равен 2.

Второй способ:

Это устные вычисления. Для тех кто имеет навык решения заданий с вписанным в окружность шестиугольником, тот сразу определит, что стороны треугольника АС и ВС «совпадают» со сторонами вписанного в окружность шестиугольника (угол шестиугольника как раз равен 120 0 , как и в условии задачи). А далее на основании того, что сторона вписанного в окружность шестиугольника равна радиусу этой окружности не сложно сделать вывод о том, что диаметр будет равен 2АС, то есть двум.

Подробнее о шестиугольнике посмотрите информацию в (п.5).

Ответ: 2

27931. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу с этого треугольника. В ответе укажите .

где a, b, c – стороны треугольника

S – площадь треугольника

Нам неизвестны ни стороны треугольника, ни его площадь. Обозначим катеты как х, тогда гипотенуза будет равна:

А площадь треугольника будет равна 0,5х 2 .

Значит

Таким образом, гипотенуза будет равна:

В ответе требуется записать:

Ответ: 4

27933. В треугольнике ABC АС = 4, ВС = 3, угол C равен 90 0 . Найдите радиус вписанной окружности.

Воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в треугольник:

где a, b, c – стороны треугольника

S – площадь треугольника

Две стороны известны (это катеты), можем вычислить третью (гипотенузу), также можем вычислить и площадь.

По теореме Пифагора:

Найдём площадь:

Таким образом:

Ответ: 1

27934. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в треугольник:

где a, b, c – стороны треугольника

S – площадь треугольника

Известны все стороны, вычислим и площадь. Её мы можем найти по формуле Герона:

Тогда

Таким образом:

Ответ: 1,5

27624. Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника. Посмотреть решение

27932. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Небольшой итог.

Если в условии дан треугольник и вписанная или описанная окружность, и речь идёт о сторонах, площади, радиусе, то сразу вспомните об указанных формулах и пробуйте использовать их при решении. Если не получается, то тогда уже ищите другие способы решения.

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.