Модель погрешности в виде случайной элементарной функции. Модель погрешности в виде случайной элементарной функции Погрешности математического моделирования
В общем случае результаты измерений и их погрешности должны рассматриваться как функции, изменяющиеся во времени случайным образом, т.е. случайные функции, или, как принято говорить в математике, случайные процессы. Поэтому математическое описание результатов и погрешностей измерений (т.е. их математические модели) должно строиться на основе теории случайных процессов. Изложим основные моменты теории случайных функций.
Случайным процессом X(t) называется процесс (функция), значение которого при любом фиксированном значении t = tQ является случайной величиной X(t ). Конкретный вид процесса (функции), полученный в результате опыта, называется реализацией .
Рис. 4. Вид случайных функций
Каждая реализация является неслучайной функцией времени. Семейство реализаций при каком-либо фиксированном значении времени t (рис. 4) представляет собой случайную величину, называемую сечением случайной функции, соответствующим моменту времени t . Следовательно, случайная функция совмещает в себе характерные признаки случайной величины и детерминированной функции. При фиксированном значении аргумента она превращается в случайную величину, а в результате каждого отдельного опыта становится детерминированной функцией.
Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения:
где p(x, t) - одномерная плотность распределения случайной величины х в соответствующем сечении случайного процесса X(t).
Дисперсией случайной функции X(t) называется неслучайная функция значение которой для каждого момента времени равно дисперсии соответствующего сечения, т.е. дисперсия характеризует разброс реализаций относительно m (t).
Корреляционная функция - неслучайная функция R(t, t") двух аргументов t и t", которая при каждой паре значений аргументов равна ковариации соответствующих сечений случайного процесса:
Корреляционная функция, называемая иногда автокорреляционной, описывает статистическую связь между мгновенными значениями случайной функции, разделенными заданным значением времени т = t"-t. При равенстве аргументов корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса. Она всегда неотрицательна.
Случайные процессы, протекающие во времени однородно, частные реализации которых с постоянной амплитудой колеблются вокруг средней функции, называются стационарными . Количественно свойства стационарных процессов характеризуются следующими условиями:
Математическое ожидание постоянно;
Дисперсия по сечениям является постоянной величиной;
Корреляционная функция зависит не от значения аргументов, а только от промежутка.
Важной характеристикой стационарного случайного процесса является его спектральная плотность S(w), которая описывает частотный состав случайного процесса при w>О и выражает среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на единицу полосы частот:
Спектральная плотность стационарного случайного процесса является неотрицательной функцией частоты. Корреляционная функция может быть выражена через спектральную плотность
При построении математической модели погрешности измерений следует учитывать всю информацию о проводимом измерении и его элементах.
Каждая из них может быть обусловлена действием нескольких различных источников погрешностей и в свою очередь состоять также из некоторого числа составляющих.
Для описания погрешностей используются теория вероятностей и математическая статистика, однако прежде необходимо сделать ряд существенных оговорок:
Применение методов математической статистики к обработке результатов измерений правомочно лишь в предположении о независимости между собой отдельных получаемых отсчетов;
Большинство используемых в метрологии формул теории вероятностей правомерны только для непрерывных распределений, в то время как распределения погрешностей вследствие неизбежного квантования отсчетов, строго говоря, всегда дискретны, т.е. погрешность может принимать лишь счетное множество значений.
Таким образом, условия непрерывности и независимости для результатов измерений и их погрешностей соблюдаются приближенно, а иногда и не соблюдаются. В математике под термином "непрерывная случайная величина" понимается существенно более узкое, ограниченное рядом условий понятие, чем "случайная погрешность" в метрологии.
В метрологии принято различать три группы характеристик и параметров погрешностей. Первая группа-задаваемые в качестве требуемых или допускаемых нормы характеристик погрешности измерений (нормы погрешностей). Вторая группа характеристик- погрешности, приписываемые совокупности выполняемых по определенной методике измерений. Характеристики этих двух групп применяются в основном при массовых технических измерениях и представляют собой вероятностные характеристики погрешности измерений. Третья группа характеристик-статистические оценки погрешностей измерений отражают близость отдельного, экспериментально полученного результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Они используются в случае измерений, проводимых при научных исследованиях и метрологических работах.
Совокупность формул, описывающих состояние, движение и взаимодействие объектов, полученных в рамках выбранных физических моделей на основе законов физики, будем называть математической моделью объекта или процесса . Процесс создания математической модели можно разделить на ряд этапов:
1) составление формул и уравнений, описывающих состояние, движение и взаимодействие объектов в рамках построенной физической модели. Этап включает запись в математических терминах сформулированных свойств объектов, процессов и связей между ними;
2) исследование математических задач, к которым приходят на первом этапе. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, т.е. получение численных данных и теоретических следствий. На этом этапе важную роль приобретают математический аппарат и вычислительная техника (компьютер).
3) выяснение того, согласуются ли результаты анализа и вычислений или следствия из них с результатами наблюдений в пределах точности последних, т.е. удовлетворяет ли принятая физическая и (или) математическая модель практике-основному критерию истинности наших представлений об окружающем мире.
Отклонение результатов расчетов от результатов наблюдений свидетельствует либо о неправильности применяемых математических методов анализа и расчета, либо о неверности принятой физической модели. Выяснение источников ошибок требует большого искусства и высокой квалификации исследователя.
Часто при построении математической модели некоторые ее характеристики или связи между параметрами остаются неопределенными вследствие ограниченности наших знаний о физических свойствах объекта. Например, оказывается, что число уравнений, описывающих физические свойства объекта или процесса и связи между объектами, меньше числа физических параметров, характеризующих объект. В этих случаях приходится вводить дополнительные соотношения, характеризующие объект исследования и его свойства, иногда даже пытаться угадать эти свойства, для того, чтобы задача могла быть решена и результаты соответствовали результатам опыта в пределах заданной погрешности.
4.3. Математические модели и характеристики погрешностей
В общем случае результаты измерений и их погрешности должны рассматриваться как функции, изменяющиеся во времени случайным образом, т.е. случайные функции, или, как принято говорить в математике, случайные процессы. Поэтому математическое описание результатов и погрешностей измерений (т.е. их математические модели) должно строиться на основе теории случайных процессов . Без этого невозможно решение большого числа практических метрологических задач. Прежде чем перейти к рассмотрению математических моделей погрешностей измерений, кратко изложим основные моменты теории случайных функций.
Случайным процессом X(t) называется процесс (функция), значение которого при любом фиксированном значении t = t Q является случайной величиной X(t 0). Конкретный вид процесса (функции), полученный в результате опыта, называется реализацией. При проведении серии опытов можно получить группу или семейство реализаций случайной функции (рис. 4.5). Семейство реализаций случайного процесса является основным экспериментальным материалом, на основе которого можно получить его характеристики и параметры.
Рис. 4.5. Вид случайных функций
Каждая реализация является неслучайной функцией времени. Семейство реализаций при каком-либо фиксированном значении времени t 0 (см. рис. 4.5) представляет собой случайную величину, называемую сечением случайной функции, соответствующим моменту времени t Q . Следовательно, случайная функция совмещает в себе характерные признаки случайной величины и детерминированной функции. При фиксированном значении аргумента она превращается в случайную величину, а в результате каждого отдельного опыта становится детерминированной функцией.
Наиболее полно случайные процессы описываются законами распределения: одномерным, двумерным и т.д. Однако оперировать с такими, в общем случае многомерными функциями очень сложно, поэтому в инженерных приложениях, каковым является метрология, стараются обойтись характеристиками и параметрами этих законов, которые описывают случайные процессы не полностью, а частично. Характеристики случайных процессов, в отличие от характеристик случайных величин, которые подробно рассмотрены в гл. 6, являются не числами, а функциями. К важнейшим из них относятся математическое ожидание и дисперсия.
Математическим ожиданием случайной функции X (t )
которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения. Здесь p(x,t) - одномерная плотность распределения случайной величины х в соответствующем сечении случайного процесса X(t).Таким образом, математическое ожидание в данном случае является средней функцией, вокруг которой группируются конкретные реализации.
Дисперсией случайной функции X (t ) называется неслучайная функция
значение которой для каждого момента времени равно дисперсии соответствующего сечения, т.е. дисперсия характеризует разброс реализаций относительно m x (t).
Математическое ожидание случайного процесса и его дисперсия являются весьма важными, но не исчерпывающими характеристиками, так как определяются только одномерным законом распределения. Они не могут характеризовать взаимосвязь между различными сечениями случайного процесса при различных значениях времени t и t". Для этого используется корреляционная функция - неслучайная функция R(t, t") двух аргументов t и t", которая при каждой паре значений аргументов равна ковариации соответствующих сечений случайного процесса:
Корреляционная функция, называемая иногда автокорреляционной, описывает статистическую связь между мгновенными значениями случайной функции, разделенными заданным значением времени т = t"-t. При равенстве аргументов корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса. Она всегда неотрицательна.
На пpaктике часто используется нормированная корреляционная функция
Она обладает следующими свойствами: 1) при равенстве аргументов t и t" r(t,t") = 1; 2) симметрична относительно своих аргументов: r(t,t") = r(t",t); 3) ее возможные значения лежат в диапазоне [-1; 1], т.е. |r(t,t")| < 1. Нормированная корреляционная функция по смыслу аналогична коэффициенту корреляции между случайными величинами, но зависит от двух аргументов и не является постоянной величиной.
Случайные процессы, протекающие во времени однородно, частные реализации которых с постоянной амплитудой колеблются вокруг средней функции, называются стационарными. Количественно свойства стационарных процессов характеризуются следующими условиями.
Математическое ожидание стационарного процесса постоянно, т.е.
m (t) = m x = const. Однако это требование не является существенным, поскольку от случайной функции X(t) всегда можно перейти к центрированной функции, для которой математическое ожидание равно нулю. Отсюда вытекает, что если случайный процесс нестационарен только за счет переменного во времени (по сечениям) математического ожидания, то операцией центрирования его всегда можно свести к стационарному.
Для стационарного случайного процесса Дисперсия по сечениям является постоянной величиной, т.е. D x (t) = D x = const.
Корреляционная функция стационарного процесса зависит не от значения аргументов t и t", а только от промежутка = t" - t, т.е. R(t,t") = R(). Предыдущее условие является частным случаем данного условия, т.е. D x (t) = R(t,t) = R( = 0) = const.
Таким образом, зависимость автокорреляционной функции только от интервала является единственным существенным условием стационарности случайного процесса.
Важной характеристикой стационарного случайного процесса является его спектральная плотность S(), которая описывает частотный состав случайного процесса при > О и выражает среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на единицу полосы частот:
Спектральная плотность стационарного случайного процесса является неотрицательной функцией частоты S() 0. Площадь, заключенная под кривой S(), пропорциональна дисперсии процесса.
Корреляционная функция может быть выражена через спектральную плотность
Стационарные случайные процессы могут обладать или не обладать свойством эргодичности. Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если любая его реализация достаточной продолжительности является как бы "полномочным представителем" всей совокупности реализаций процесса. В таких процессах любая реализация рано или поздно пройдет через любое состояние независимо от того, в каком состоянии находился этот процесс в начальный момент времени.
Для эргодического стационарного случайного процесса его математическое ожидание может быть определено из выражения
Достаточным
условием выполнения этого равенства
- эргодичности стационарного случайного
процесса X(t)
по математическому ожиданию - является
выполнение условия
Дисперсия эргодического процесса может быть найдена по формуле
Достаточным условием выполнения этого равенства - эргодичности стационарного процесса X(t) по дисперсии - является
,
где R Y ()
- корреляционная функция стационарного
случайного процесса Y(t)
= 2
.
Корреляционная функция стационарного эргодического случайного процесса может быть определена по формуле
Достаточным условием выполнения последнего равенства - эргодичности стационарного процесса X(t) по корреляционной функции - является
,
где R Z ()
-
корреляционная функция стационарного
случайного процесса Z
(t,
)
= X(t)
X(t
+ ).
При построении математической модели погрешности измерений следует учитывать всю информацию о проводимом измерении и его элементах. Модели для измерений, проводимых различными методами и средствами, могут существенно различаться.
В общем случае абсолютную погрешность измерения Д(1) следует представлять в виде суммы нескольких составляющих:
Каждая из них может быть обусловлена действием нескольких различных источников погрешностей и в свою очередь состоять также из некоторого числа составляющих.̊
Систематическая
составляющая
̊(t)
представляет собой нестационарную
случайную функцию, описывающую постоянную
или инфра-низкочастотную погрешность,
причины возникновения которой могут
быть различными. Периоды изменения
составляющих систематической погрешности
значительно больше времени, необходимого
для проведения измерения. Поэтому
погрешность \(t
)
условно
принимается за постоянную и для ее
учета применяются математические
методы, разработанные для неизменных
во времени и от измерения к измерению
погрешностей, значения которых
неизвестны.
Составляющая ̊(t) является случайной и имеет широкий частотный спектр. Периоды изменения составляющих этой погрешности меньше или сравнимы со временем измерения. Она может быть разделена на две составляющие: ̊ 0в (t) и ̊ 0н (t), которые являются стационарными случайными функциями времени с различными частотными спектрами - высокочастотным и низкочастотным соответственно. Автокорреляционная функция высокочастотной составляющей погрешности затухает в течение времени, значительно меньшего времени измерения. Для низкочастотной составляющей автокорреляционная функция затухает до нуля в течение времени, большего времени отдельного измерения. Такое различие в поведении этих составляющих обуславливает их выделение и применение к ним различных методик обработки.
Составляющая ̊ 0 является центрированной случайной величиной, не зависящей от времени, но изменяющейся от измерения к измерению. Величины ̊ 0в (t) и ̊ 0 могут быть объединены в одну стационарную центрированную функцию ̊(t). Ее автокорреляционная функция затухает на интервале времени, который меньше времени проведения всего измерения, но существенно больше интервала времени, необходимого для одного измерения. В связи с этим математическая модель погрешности измерения может быть записана в виде
Отдельные составляющие этого уравнения могут отсутствовать при моделировании погрешности конкретного измерения. Так, зачастую нет необходимости учитывать высокочастотную составляющую погрешности измерения.
Эффективное использование рассмотренной модели погрешности измерения возможно только при известном частотном спектре ее составляющих. Однако данное условие весьма трудно выполнить на практике, и поэтому часто случайная погрешность измерения описывается не случайной функцией, а представляется еще в более упрощенном виде, а именно в виде случайной величины. При этом для описания погрешностей используются теория вероятностей и математическая статистика. Однако прежде необходимо сделать ряд существенных оговорок:
Применение методов математической статистики к обработке результатов измерений правомочно лишь в предположении о независимости между собой отдельных получаемых отсчетов;
Большинство используемых в метрологии формул теории вероятностей правомерны только для непрерывных распределений, в то время как распределения погрешностей вследствие неизбежного квантования отсчетов, строго говоря, всегда дискретны, т.е. погрешность может принимать лишь счетное множество значений.
Таким образом, условия непрерывности и независимости для результатов измерений и их погрешностей соблюдаются приближенно, а иногда и не соблюдаются. В математике под термином "непрерывная случайная величина" понимается существенно более узкое, ограниченное рядом условий понятие, чем "случайная погрешность" в метрологии.
С учетом этих ограничений процесс появления случайных погрешностей результатов измерений за вычетом систематических и прогрессирующих погрешностей обычно может рассматриваться как центрированный стационарный случайный процесс. Его описание возможно на основе теории статистически независимых случайных величин и стационарных случайных процессов.
При выполнении измерений требуется количественно оценить погрешность. Для такой оценки необходимо знать определенные характеристики и параметры модели погрешности. Их номенклатура зависит от вида модели и требований к оцениваемой погрешности. В метрологии принято различать три группы характеристик и параметров погрешностей. Первая группа - задаваемые в качестве требуемых или допускаемых нормы характеристик погрешности измерений (нормы погрешностей). Вторая группа характеристик - погрешности, приписываемые совокупности выполняемых по определенной методике измерений. Характеристики этих двух групп применяются в основном при массовых технических измерениях и представляют собой вероятностные характеристики погрешности измерений. Третья группа характеристик - статистические оценки погрешностей измерений отражают близость отдельного, экспериментально полученного результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Они используются в случае измерений, проводимых при научных исследованиях и метрологических работах.
В качестве характеристик случайной погрешности используют СКО случайной составляющей погрешности измерений и, если необходимо, ее нормализованную автокорреляционную функцию.
Систематическая составляющая погрешности измерений характеризуется:
СКО неисключенной систематической составляющей погрешности измерений;
Границами, в которых неисключенная систематическая составляющая погрешности измерений находится с заданной вероятностью (в частности, и с вероятностью, равной единице).
Требования к характеристикам погрешности и рекомендации по их выбору приведены в нормативном документе МИ 1317-86 "ГСИ. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров".
Построение любой математической модели и ее реализация связаны с упрощением исходного объекта или явления и внесением погрешностей. Эти погрешности называются погрешностями модели . Погрешность модели является неустранимой погрешностью. При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, которые носят название погрешностей метода . Наиболее типичные погрешности метода - это погрешность дискретизации и погрешность усечения (обрыва). При реализации численного метода на ЭВМ возникают погрешности округления .
Остановимся подробней на погрешностях метода и вычислительных погрешностях. В диапазоне пространственно-временных промежутков, в которых функционируют электротехнические устройства, пространство и время можно считать непрерывными субстанциями. Аналитические зависимости электрических величин как функции пространства (линии, площади или объема) и времени обладают этой непрерывностью за исключением точек скачков и разрывов. При этом для любой точки пространства или любого момента времени (в рамках задачи) известно значение данной величины - тока, напряжения, индукции и т. д. Численные же методы дают возможность найти зависимости между величинами дискретно, т.е. в отдельных точках, и непосредственные результаты расчетов могут быть представлены только в табличном виде. Шаг по аргументу, например, времени t, с которым заполняется таблица, называется шагом дискретизации h . Точки аргумента, в которых известны значения функций, называются узлами. Характер же изменения функции между узлами и ее промежуточные значения неизвестны. Чем больше шаг дискретизации, тем выше погрешность численного решения. Точность же решения уравнения при наличии аналитической зависимости от шага не зависит. В основном погрешность дискретизации связана с тем, что для построения численных методов используются приемы, связанные с заменой производных функций конечными разностями . При стремлении шага h к нулю погрешность дискретизации тоже стремится к нулю. Второй погрешностью метода является погрешность усечения (обрыва). Эта погрешность связана с тем, что многие функции, входящие в математическое описание модели, представляются в виде усеченных бесконечных степенных рядов аргумента. Это и дает ошибку усечения (обрыва). Например, sin(x) можно представить в виде степенного ряда
При сохранении двух членов ряда будем иметь усеченную формулу для вычисления синуса: 
.
Погрешность усечения при выводе формул численного интегрирования рассмотрена в главе 4.
Следующим видом погрешности является погрешность округления, связанная с приближенным представлениемвещественных чисел в ЭВМ. Погрешность округления есть вычислительная погрешность.
В отличие от целых чисел, которые в ЭВМ представляются точно , действительные числа представляются в ЭВМ приближенно , с определенной точностью. Это связано со способом представления действительных чисел в ЭВМ. Рассмотрим вопрос более подробно на примере представления действительных чисел в Turbo Pascal 7.0 .
Действительные числа в ЭВМ представляются в показательной форме:
где М
- мантисса числа; r
- основание системы счисления; p
- целое число (положительное, отрицательное или нуль) - порядок. Если 
, то число называют нормализованным. Примеры записи нормализованных чисел в показательной форме: 
, 
и т. д.
Точность числа при таком представлении зависит от количества знаков в мантиссе. Возьмем стандартный тип Паскаля REAL. Под число этого типа в памяти ЭВМ выделяется 6 байт. Один байт равен 8 битам или двоичным разрядам, всего 6х8=48 двоичных разрядов. При этом один разряд отдан под знак числа, 8 - под порядок, 39 - под мантиссу, что соответствует 11 12 значащим десятичным цифрам. Это означает, что числа, отличающиеся в 13-м десятичном знаке, для ЭВМ будут равными. Для многих технических задач данной точности представления чисел бывает недостаточно, и в Турбо Паскале есть тип EXTENDED, который обеспечивает 19 20 десятичных знаков в мантиссе.
Как говорилось выше, погрешность дискретизации уменьшается с уменьшением шага дискретизации h.
С другой стороны, при расчете величины шага h
c его уменьшением приходится вычитать все более близкие числа. Например, если в ЭВМ действительные числа представляются с 5 значащими цифрами, то если 
, а 
, шаг будет равен h = t 2 - t 1 =
. Количество значащих цифр сократилось в 5 раз! Следовательно, вычислительные алгоритмы, в которых приходится вычитать близкие по величине числа, могут привести к потере точности решения.
В связи с тем, что действия погрешности дискретизации и округления носят противоположный характер, существует оптимальный шаг дискретизации, при котором суммарная погрешность будет минимальна (рис.1.6). Величину оптимального шага можно определить только в условиях конкретной задачи и типа ЭВМ.
Мы рассмотрели следующие погрешности вычислительного эксперимента:
1) неустранимые - погрешности модели;
2) дискретизации, обрыва (усечения) - погрешности метода;
 |
3) округления - вычислительная погрешность.
Какая из погрешностей преобладает, можно ответить только в конкретном случае. Если объект еще плохо изучен, то погрешности модели будут играть наибольшую роль и т. д. На практике следует стремиться к тому, чтобы все погрешности имели одинаковый порядок.
При математическом моделировании приходится сталкиваться еще с рядом сложных проблем. Главные из них - устойчивость численного метода и плохая обусловленность уравнений, входящих в математическую модель, которые тесно взаимосвязаны. Под устойчивостью численного метода понимают непрерывную зависимость решения от входных данных, равномерную относительно числа уравнений, составляющих дискретную моделью. Непрерывная зависимость от входных данных обозначает, что погрешность результата пропорциональна погрешности входных данных в диапазоне их изменения. Различают устойчивость коэффициентную, разностных схем, по начальным данным и т. д. .
Плохо обусловленной (или слабо устойчивой) считается задача, при решении которой погрешности, которые всегда присутствуют в численных методах, приводят к существенно другому результату или к аварийному завершению задачи.
Приведем наглядный пример плохой обусловленности на примере системы из двух линейных уравнений.
.
Её решение будет 
Уменьшим величину коэффициента при х 2
во втором уравнении на 0.1% (998 вместо 999). Решение новой системы уравнений дает результат Погрешность в коэффициенте в 0.1% привела к погрешности результата более чем в 50000%! Результаты вычислительного эксперимента, проведенного на математической модели, в которой есть уравнения с такими коэффициентами, будут ошибочными.
Исходя из сказанного выше, реализующий численные методы вычислительный алгоритм должен бытьустойчивым к накоплению погрешностей и легко реализуемым на ЭВМ.
Вычислительный алгоритм также должен быть еще рационально построен , т.е. должен приводить к результату за минимально возможное число шагов при минимальном использовании памяти ЭВМ. В качестве примера приведем алгоритм вычисления полинома:
по схеме Горнера.
В общем виде модель погрешности 0,95(t) может быть представлена в виде 0,95(t) = 0 + F(t), где D0 -- начальная погрешность СИ; F(t) -- случайная для совокупности СИ данного типа функция времени, обусловленная физико-химическими процессами постепенного износа и старения элементов и блоков. Получить точное выражение для функции F(t) исходя из физических моделей процессов старения практически не представляется возможным. Поэтому, основываясь на данных экспериментальных исследований изменения погрешностей во времени, функцию F(t) аппроксимируют той или иной математической зависимостью.
Простейшей моделью изменения погрешности является линейная:
где v скорость изменения погрешности. Как показали проведенные исследования, данная модель удовлетворительно описывает старение СИ в возрасте от одного до пяти лет. Использование ее в других диапазонах времени невозможно ввиду явного противоречия между определенными по этой формуле и экспериментальными значениями частоты отказов.
Метрологические отказы возникают периодически. Механизм их периодичности иллюстрирует рис.1, а, где прямой линией 1 показано изменение 95%-ного квантиля при линейном законе.
Рис. 2.
При метрологическом отказе погрешность D0,95(t) превышает значение Dпр=D0+nD3, где D3 -- значение запаса нормируемого предела погрешности, необходимого для обеспечения долговременной работоспособности СИ. При каждом таком отказе производится ремонт прибора и его погрешность возвращается к исходному значению D0. По прошествии времени Тр= ti - ti-1 опять происходит отказ (моменты tt, t2, t3 и т.д.), после которого вновь производится ремонт. Следовательно, процесс изменения погрешности СИ описывается ломаной линией 2 на рис.1, а, которая может быть представлена уравнением
где n -- число отказов (или ремонтов) СИ. Если число отказов считать целым, то это уравнение описывает дискретные точки на прямой 1 (рис.2, а). Если же условно принять, что п может принимать и дробные значения, то формула (2) будет описывать всю прямую 1 изменения погрешности D0,95(t) при отсутствии отказов.
Частота метрологических отказов увеличивается с ростом скорости v. Она столь же сильно зависит от запаса нормируемого значения погрешности D3 по отношению к фактическому значению погрешности средства измерений D0 на момент изготовления или окончания ремонта прибора. Практические возможности воздействия на скорость изменения v и запас погрешности D3 совершенно различны. Скорость старения определяется существующей технологией производства. Запас погрешности для первого межремонтного интервала определяется решениями, принятыми производителем СИ, а для всех последующих межремонтных интервалов -- уровнем культуры ремонтной службы пользователя.
Если метрологическая служба предприятия обеспечивает при ремонте погрешность СИ, равную погрешности D0 на момент изготовления, то частота метрологических отказов будет малой. Если же при ремонте лишь обеспечивается выполнение условия D0 (0,9... 0,95) Dпр, то погрешность может выйти за пределы допустимых значений уже в ближайшие месяцы эксплуатации СИ и большую часть межповерочного интервала оно будет эксплуатироваться с погрешностью, превышающей его класс точности. Поэтому основным практическим средством достижения долговременной метрологической исправности средства измерений является обеспечение достаточно большого запаса D3, нормируемого по отношению к пределу Dпр.
Постепенное непрерывное расходование этого запаса обеспечивает на некоторый определенный период времени метрологически исправное состояние СИ. Ведущие приборостроительные заводы обеспечивают D3 = (0,4...0,5) Dпр, что при средней скорости старения v = = 0,05АП /год позволяет получать межремонтный интервал Тр= D3 = 1/Т/v = 8... 10 лет и частоту отказов р= 0,1... 0,125 год-1.
При изменении погрешности СИ в соответствии с формулой (1) все межремонтные интервалы Тр = 1/Т будут равны между собой, а частота метрологических отказов р будет постоянной в течение всего срока эксплуатации. Однако проведенные экспериментальные исследования показали, что на практике это не выполняется.
В общем виде модель погрешности A 095 (i) может быть представлена в виде До9 5 (?) = До + F(t), где До - начальная погрешность СИ; F(t) - случайная для совокупности СИ данного типа функция времени, обусловленная физико-химическими процессами постепенного износа и старения элементов и блоков. Получить точное выражение для функции F(t) исходя из физических моделей процессов старения практически не представляется возможным. Поэтому, основываясь на данных экспериментальных исследований изменения погрешностей во времени, функцию F(t) аппроксимируют той или иной математической зависимостью.
Простейшей моделью изменения погрешности является линейная:
где v - скорость изменения погрешности. Как показали проведенные исследования , данная модель удовлетворительно описывает старение СИ в возрасте от одного до пяти лег. Использование ее в других диапазонах времени невозможно ввиду явного противоречия между определенными по этой формуле и экспериментальными значениями частоты отказов.
Метрологические отказы возникают периодически. Механизм их периодичности иллюстрирует рис. 4.2, а , где прямой линией 1 показано изменение 95%-ного квантиля при линейном законе.
При метрологическом отказе погрешность Д 095 (?) превышает значение Д пр = До + Д 3 , где Д, - значение запаса нормируемого предела погрешности, необходимого для обеспечения долговременной работоспособности СИ. При каждом таком отказе производится ремонт прибора, и его погрешность возвращается к исходному значению Д^ По прошествии времени Т? = t { - - t j _ l опять происходит отказ (моменты t u t 2 , t 3 и т.д.), после которого вновь производится ремонт. Следовательно, процесс изменения погрешности СИ описывается ломаной линией 2 на рис. 4.2, а, которая может быть представлена уравнением
где п - число отказов (или ремонтов) СИ. Если число отказов считать целым, то это уравнение описывает дискретные точки на прямой 1
(см. рис. 4.2, а). Если же условно принять, что п может принимать и дробные значения, то формула (4.2) будет описывать всю прямую 1 изменения погрешности Л 095 (() при отсутствии отказов.
Частота метрологических отказов увеличивается с ростом скорости V. Она столь же сильно зависит от запаса нормируемого значения погрешности Д 3 по отношению к фактическому значению погрешности средства измерений Д 0 на момент изготовления или окончания ремонта прибора. Практические возможности воздействия на скорость изменения V и запас погрешности Д, совершенно различны. Скорость старения определяется существующей технологией производства. Запас погрешности для первого межремонтного интервала определяется решениями, принятыми производителем СИ, а для всех последующих межремонтных интервалов - уровнем культуры ремонтной службы пользователя.
Если метрологическая служба предприятия обеспечивает при ремонте погрешность СИ, равную погрешности Д 0 на момент изготовления, то частота метрологических отказов будет малой. Если же при ремонте лишь обеспечивается выполнение условия До * (0,9-0,95) Д пр, то погрешность может выйти за пределы допустимых значений уже в ближайшие месяцы эксплуатации СИ и большую часть межповерочного интервала оно будет эксплуатироваться с погрешностью, превышающей его класс точности. Поэтому основным практическим средством достижения долговременной метрологической исправности средства измерений является обеспечение достаточно большого запаса Д 3 , нормируемого по отношению к пределу Д пр.
Постепенное непрерывное расходование этого запаса обеспечивает на некоторый определенный период времени метрологически исправное состояние СИ. Ведущие приборостроительные заводы обеспечивают Д 3 = (0,4-0,5) Д пр, что при средней скорости старения V = 0,05 Д пр /год позволяет получать межремонтный интервал Г р = А 3 /и = 8-10 лет и частоту отказов со = 1/Гр = 0,1-0,125 год -1 .
При изменении погрешности СИ в соответствии с формулой (4.1) все межремонтные интерваты Т будут равны между собой, а частота метрологических отказов со = 1 /Т будет постоянной в течение всего срока эксплуатации.