Нарисовать одз функции онлайн. Область допустимых значений (ОДЗ): теория, примеры, решения
Шамшурин А.В. 1
Гагарина Н.А. 1
1 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №31»
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Я начал работу с того, что в Интернете пересмотрел множество тем по математике и выбрал эту тему, потому что уверен, что важность нахождения ОДЗ играет огромную роль в решении уравнений и задач. В своей исследовательской работе я рассмотрел уравнения, в которых достаточно только нахождения ОДЗ, опасность, необязательность, ограниченность ОДЗ, некоторые запреты в математике. Самое главное для меня хорошо сдать ЕГЭ по математике, а для этого надо знать: когда, зачем и как находить ОДЗ. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что овладение данной темой поможет учащимся правильно выполнить задания на ЕГЭ. Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники. Мне стало интересно, а знают учащиеся нашей школы: когда, зачем и как находить ОДЗ. Поэтому я провёл тест по теме «Когда, зачем и как находить ОДЗ?» (было дано 10 уравнений). Количество учащихся - 28. Справились - 14 %, опасность ОДЗ (учли) - 68 %, необязательность (учли) - 36 %.
Цель : выявление: когда, зачем и как находить ОДЗ.
Проблема: уравнения и неравенства, в которых нужно находить ОДЗ, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому я и мои сверстники часто делаем ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об ОДЗ.
Задачи:
- Показать значимость ОДЗ при решении уравнений и неравенств.
- Провести практическую работу по данной теме и подвести её итоги.
Я думаю полученные мною, знания и навыки помогут мне решить вопрос: искать ОДЗ или не надо? Я перестану делать ошибки, научившись правильно делать ОДЗ. Получится ли у меня это, покажет время, точнее ЕГЭ.
Глава 1
Что такое ОДЗ?
ОДЗ - это область допустимых значений , то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.
Важно. Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных мест.
Некоторые запреты в математике. Таких запретных действий в математике очень мало. Но их не все помнят…
- Выражения, состоящие под знаком чётной кратности или должно быть>0 или равно нулю, ОДЗ:f(x)
- Выражение, стоящее в знаменателе дроби не может быть равно нулю, ОДЗ:f(x)
- |f(x)|=g(x), ОДЗ: g(x) 0
Как записать ОДЗ? Очень просто. Всегда рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х, которые разрешены для исходного примера. Преобразование примера может изменить ОДЗ и, соответственно ответ.
Алгоритм нахождения ОДЗ:
- Определите вид запрета.
- Найти значения, при которых выражение не имеет смысла.
- Исключить эти значения из множества действительных чисел R.
Решить уравнение: =
|
Без ОДЗ |
С ОДЗ |
|
Ответ: х=5 |
ОДЗ: => => Ответ: корней нет |
Область допустимых значений оберегает нас от таких серьёзных ошибок. Честно говоря, именно из-за ОДЗ многие «ударники» превращаются в «троечников». Считая, что поиск и учёт ОДЗ малозначимым шагом в решении, они пропускают его, а потом удивляются: «почему учитель поставил 2?». Да потому и поставил, что ответ неверен! Это не «придирки» учителя, а вполне конкретная ошибка, такая же как неверное вычисление или потерянный знак.
Дополнительные уравнения:
а) = ; б) -42=14х+ ; в) =0; г) |x-5|=2x-2
Глава 2
ОДЗ. Зачем? Когда? Как?
Область допустимых значений - есть решение
- ОДЗ представляет собой пустое множество, а значит, исходный пример не имеет решений
- = ОДЗ:
Ответ: корней нет.
- = ОДЗ:
Ответ: корней нет.
0, уравнение не имеет корней
Ответ: корней нет.
Дополнительные примеры:
а) + =5; б) + =23х-18; в) =0.
- В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.
ОДЗ: х=2, х=3
Проверка: х=2, + , 0<1, верно
Проверка: х=3, + , 0<1, верно.
Ответ: х=2, х=3.
- > ОДЗ: х=1,х=0
Проверка: х=0, > , 0>0, неверно
Проверка: х=1, > , 1>0, верно
Ответ: х=1.
- + =х ОДЗ: х=3
Проверка: + =3, 0=3, неверно.
Ответ: корней нет.
Дополнительные примеры:
а) = ; б) + =0; в) + =х -1
Опасность ОДЗ
Заметим, тождественные преобразования могут:
- не влиять на ОДЗ;
- приводить к расширенному ОДЗ;
- приводить к сужению ОДЗ.
Известно также, что в результате некоторых преобразований, изменяющих исходное ОДЗ, может привести к неверным решениям.
Давайте поясним каждый случай примером.
1) Рассмотрим выражение х +4х+7х, ОДЗ переменной х для этого есть множество R. Приведём подобные слагаемые. В результате оно примет вид x 2 +11x. Очевидно, ОДЗ переменной x этого выражения тоже является множество R. Таким образом, проведенное преобразование не изменило ОДЗ.
2) Возьмем уравнение x+ - =0. В этом случае ОДЗ: x≠0. Это выражение тоже содержит подобные слагаемые, после приведения которых, приходим к выражению x, для которого ОДЗ есть R. Что мы видим: в результате проведенного преобразования произошло расширение ОДЗ (к ОДЗ переменной x для исходного выражения добавилось число нуль).
3) Возьмем выражение. ОДЗ переменной x определяется неравенством (x−5)·(x−2)≥0, ОДЗ: (−∞, 2]∪∪/Режим доступа: Материалы сайтов www.fipi.ru, www.eg
Приложение 1
Практическая работа «ОДЗ: когда, зачем и как?»
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
|
│х+14│= 2 - 2х |
|
|
│3-х│=1 - 3х |
Приложение 2
Ответы к заданиям практической работы «ОДЗ: когда, зачем и как?»
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
|
Ответ: корней нет |
Ответ: х-любое число, кроме х=5 |
|
9х+ = +27 ОДЗ: х≠3 Ответ: корней нет |
ОДЗ: х=-3, х=5. Ответ:-3;5. |
|
у= -убывает, у= -возрастает Значит, уравнение имеет не более одного корня. Ответ: х=6. |
ОДЗ: → →х≥5 Ответ:х≥5, х≤-6. |
|
│х+14│=2-2х ОДЗ:2-2х≥0, х≤1 х=-4, х=16, 16 не принадлежит ОДЗ |
Убывает, -возрастает Уравнение имеет не более одного корня. Ответ: корней нет. |
|
0, ОДЗ: х≥3,х≤2 Ответ: х≥3,х≤2 |
8х+ = -32, ОДЗ: х≠-4. Ответ: корней нет. |
|
х=7, х=1. Ответ: решений нет |
Возрастает, - убывает Ответ: х=2. |
|
0 ОДЗ: х≠15 Ответ: х- любое число, кроме х=15. |
│3-х│=1-3х, ОДЗ: 1-3х≥0, х≤ х=-1, х=1 не принадлежит ОДЗ. Ответ: х=-1. |
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Для начала научимся находить область определения суммы функций . Понятно, что такая функция имеет смысл для всех таких значений переменной, при которой имеют смысл все функции, составляющие сумму. Поэтому не вызывает сомнений справедливость следующего утверждения:
Если функция f - это сумма n функций f 1 , f 2 , …, f n , то есть, функция f задается формулой y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x) , то областью определения функции f является пересечение областей определения функций f 1 , f 2 , …, f n . Запишем это как .
Давайте условимся и дальше использовать записи, подобные последней, под которыми будем понимать , записанных внутри фигурной скобки, либо одновременное выполнение каких-либо условий. Это удобно и достаточно естественно перекликается со смыслом систем.
Пример.
Дана функция y=x 7 +x+5+tgx , и надо найти ее область определения.
Решение.
Функция f представлена суммой четырех функций: f 1 - степенной функции с показателем 7 , f 2 - степенной функции с показателем 1 , f 3 - постоянной функции и f 4 - функции тангенс.
Взглянув в таблицу областей определения основных элементарных функций, находим, что D(f 1)=(−∞, +∞)
, D(f 2)=(−∞, +∞)
, D(f 3)=(−∞, +∞)
, а областью определения тангенса является множество всех действительных чисел, кроме чисел 
.
Область определения функции f
– это пересечение областей определения функций f 1
, f 2
, f 3
и f 4
. Достаточно очевидно, что это есть множество всех действительных чисел, за исключением чисел .
Ответ:
множество всех действительных чисел, кроме .
Переходим к нахождению области определения произведения функций . Для этого случая имеет место аналогичное правило:
Если функция f - это произведение n функций f 1 , f 2 , …, f n , то есть, функция f задается формулой y=f 1 (x)·f 2 (x)·…·f n (x) , то область определения функции f есть пересечение областей определения функций f 1 , f 2 , …, f n . Итак, .
Оно и понятно, в указанной области определены все функции произведения, а значит и сама функция f .
Пример.
Y=3·arctgx·lnx .
Решение.
Структуру правой части формулы, задающей функцию, можно рассматривать так f 1 (x)·f 2 (x)·f 3 (x) , где f 1 – это постоянная функция, f 2 – это функция арктангенс, а f 3 – логарифмическая функция с основанием e .
Нам известно, что D(f 1)=(−∞, +∞)
, D(f 2)=(−∞, +∞)
и D(f 3)=(0, +∞)
. Тогда
.
Ответ:
областью определения функции y=3·arctgx·lnx является множество всех действительных положительных чисел.
Отдельно остановимся на нахождении области определения функции, заданной формулой y=C·f(x)
, где С
– некоторое действительное число. Легко показать, что область определения этой функции и область определения функции f
совпадают. Действительно, функция y=C·f(x)
– это произведение постоянной функции и функции f
. Областью определения постоянной функции является множество всех действительных чисел, а область определения функции f
есть D(f)
. Тогда область определения функции y=C·f(x)
есть 
, что и требовалось показать.
Итак, области определения функций y=f(x) и y=C·f(x) , где С – некоторое действительное число, совпадают. Например, область определения корня есть , становится ясно, что D(f) - это множество всех x из области определения функции f 2 , для которых f 2 (x) входит в область определения функции f 1 .
Таким образом, область определения сложной функции
y=f 1 (f 2 (x))
- это пересечение двух множеств: множества всех таких x
, что x∈D(f 2)
, и множества всех таких x
, для которых f 2 (x)∈D(f 1)
. То есть, в принятых нами обозначениях 
(это по сути система неравенств).
Давайте рассмотрим решения нескольких примеров. В процессе мы не будем подробно описывать , так как это выходит за рамки этой статьи.
Пример.
Найти область определения функции y=lnx 2 .
Решение.
Исходную функцию можно представить в виде y=f 1 (f 2 (x)) , где f 1 – логарифм с основанием e , а f 2 – степенная функция с показателем 2 .
Обратившись к известным областям определения основных элементарных функций, имеем D(f 1)=(0, +∞) и D(f 2)=(−∞, +∞) .
Тогда
Так мы нашли нужную нам область определения функции, ей является множество всех действительных чисел, кроме нуля.
Ответ:
(−∞, 0)∪(0, +∞) .
Пример.
Какова область определения функции 
?
Решение.
Данная функция сложная, ее можно рассматривать как y=f 1 (f 2 (x)) , где f 1 – степенная функция с показателем , а f 2 – функция арксинус, и нам нужно найти ее область определения.
Посмотрим, что нам известно: D(f 1)=(0, +∞)
и D(f 2)=[−1, 1]
. Остается найти пересечение множеств таких значений x
, что x∈D(f 2)
и f 2 (x)∈D(f 1)
:
Чтобы arcsinx>0 вспомним свойства функции арксинус . Арксинус возрастает на всей области определения [−1, 1] и обращается в ноль при x=0 , следовательно, arcsinx>0 для любого x из промежутка (0, 1] .
Вернемся к системе:
Таким образом, искомая область определения функции есть полуинтервал (0, 1] .
Ответ:
(0, 1] .
Теперь давайте перейдем к сложным функциям общего вида y=f 1 (f 2 (…f n (x))))
. Область определения функции f
в этом случае находится как
.
Пример.
Найти область определения функции 
.
Решение.
Заданную сложную функцию можно расписать как y=f 1 (f 2 (f 3 (x))) , где f 1 – sin , f 2 – функция корень четвертой степени, f 3 – lg .
Нам известно, что D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=- ∞; + ∞[ .
Пример 1. Найти область определения функции y = 2 .
Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого определения имеется в виду естественная область определения. Выражение f (x ) = 2 определено при любых действительных значениях x , следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел.
Поэтому на чертеже сверху числовая прямая заштрихована на всём протяжении от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Область определения корня n -й степени
В случае, когда функция задана формулой и n - натуральное число:
Пример 2. Найти область определения функции .
Решение. Как следует из определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть, если - 1 ≤ x ≤ 1 . Следовательно, область определения данной функции - [- 1; 1] .
Заштрихованная область числовой прямой на чертеже сверху - это область определения данной функции.
Область определения степенной функции
Область определения степенной функции с целым показателем степени
если a - положительное, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[ ;
если a - отрицательное, то областью определения функции является множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , то есть вся числовая прямая за исключением нуля.
На соответствующем чертеже сверху вся числовая прямая заштрихована, а точка, соответствующая нулю, выколота (она не входит в область определения функции).
Пример 3. Найти область определения функции .
Решение. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором слагаемом можно представить в виде единицы - так же целого числа. Следовательно, область определения данной функции - вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ .
Область определения степенной функции с дробным показателем степени
В случае, когда функция задана формулой :
если - положительное, то областью определения функции является множество 0; + ∞[ .
Пример 4. Найти область определения функции .
Решение. Оба слагаемых в выражении функции - степенные функции с положительными дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции - множество - ∞; + ∞[ .
Область определения показательной и логарифмической функции
Область определения показательной функции
В случае, когда функция задана формулой , областью определения функции является вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ .
Область определения логарифмической функции
Логарифмическая функция определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество ]0; + ∞[ .
Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Область определения тригонометрических функций
Область определения функции y = cos(x ) - так же множество R действительных чисел.
Область определения функции y
= tg(x
)
-
множество R
действительных чисел, кроме чисел
.
Область определения функции y = ctg(x ) - множество R действительных чисел, кроме чисел .
Пример 8. Найти область определения функции .
Решение. Внешняя функция - десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь - синус "икса". Поворачивая воображаемый циркуль по окружности, видим, что условие sin x > 0 нарушается при "иксе" равным нулю, "пи", два, умноженном на "пи" и вообще равным произведению числа "пи" и любого чётного или нечётного целого числа.
Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением
,
где k - целое число.
Область определения обратных тригонометрических функций
Область определения функции y = arcsin(x ) - множество [-1; 1] .
Область определения функции y = arccos(x ) - так же множество [-1; 1] .
Область определения функции y = arctg(x ) - множество R действительных чисел.
Область определения функции y = arcctg(x ) - так же множество R действительных чисел.
Пример 9. Найти область определения функции .
Решение. Решим неравенство:
Таким образом, получаем область определения данной функции - отрезок [- 4; 4] .
Пример 10. Найти область определения функции
.
Решение. Решим два неравенства:
Решение первого неравенства:
Решение второго неравенства:
Таким образом, получаем область определения данной функции - отрезок .
Область определения дроби
Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x , при которых знаменатель дроби обращается в нуль.
Пример 11. Найти область определения функции .
Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби, находим область определения данной функции - множество ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .