В чем суть принципа гюйгенса френеля. Принцип Гюйгенса Френеля

Гюйгенсом было сформулировано предположение, согласно которому каждая точка фронта волны, созданной каким-либо пер­вичным источником, является вторичным источником сферической волны. Это предположение называют принципом Гюйгенса .

Под фронтом волны обычно понимают поверхность, отделяющую область, в которой в данный момент времени уже имеют место электромагнитные колебания, от области, в которую волна еще не успела распространиться. При описании распространяющихся монохроматических электромагнитных волн часто вместо термина поверхность равных фаз используют термин фронт волны, что, строго говоря, не совсем корректно.

Пусть известна поверхность S 1(рис. 1.24), на которой фаза функции, характеризующей волну, в момент t = t0 равна некоторому значению Ψ0. В следующий момент времени t = t0 + Δt поверхность, соответствующая значению фазы Ψ0, уже не будет совпадать с S1. Для определения этой новой поверхности, согласно принципу Гюйгенса, нужно каждую точку поверхности S1 принять за центр сферы радиуса r0 = cΔ t, где с – скорость распространения волны. Тогда поверхность S2 (рис. 1.24), огибающая семейство построенных таким образом сфер, проведенная с учетом направления распространения волны, будет искомой поверхностью, на которой фаза в момент t = t0+ Δt равна Ψ0.

Рис.1.24. Поверхности S1 и S2

Принцип Гюйгенса справедлив для любых волновых процессов и позволяет проследить за перемещением фронта волны или поверхности равных фаз, начиная с момента времени, в который являются известными фронт волны, или, соответственно, ПРФ. Математическая формулировка принципа Гюйгенса впервые была дана Кирхгофом. Поэтому указанный принцип обычно называют принципом Гюйгенса-Кирхгофа.

Принцип Гюйгенса-Кирхгофа позволяет находить поле и в том случае, когда поверхность, окружающая источники, не совпадает с поверхностью равных фаз. При этом, конечно, необходимо учи­тывать распределение фаз эквивалентных источников.

Принцип Гюйгенса-Кирхгофа широко применяется при расчете диаграмм направленности различных излучающих систем СВЧ диапазона. Основные типы антенн этого диапазона: щелевые, рупорные и зеркальные (схематически изображенные на рис. 1.25, а, б, в, соответственно) можно представить в виде замкнутой поверхности, одна часть которой (S0) является металлической, а другая (SΣ)представляет собой поверхность раскрыва (через нее электромагнитная энергия излучается в окружающее простран­ство). Поле на SΣ обычно известно с той или иной степенью точности, и его можно заменить распределением эквивалентных источников.

Рис.1.25. Основные типы антенн СВЧ диапазона: а) щелевая; б) рупорная; в) зеркальная

Кроме того, при приближенных расчетах часто прене­брегают затеканием электрических токов на внешнюю поверхность антенны, т.е. предполагают, что на поверхности S0 отсутствуют также электрические токи:

В таком приближении поле в дальней зоне определяется только эквивалентными поверхностными электрическими и магнит­ными токами или, что то же самое, касательными составляющими векторов и на поверхности SΣ.

При вычислении поля можно воспользоваться принципом суперпозиции: разбить поверхность SΣ на элементарные площадки ΔS, найти поле, создаваемое эквивалентными токами каждой площадки, а затем просуммировать полученные результаты.

Цель урока

Познакомить учащихся с особенностями распространения света на границе раздела двух сред, дать им сведения о законах, которым подчиняется это явление, дать объяснение этого явления с точки зрения волновой теории света.

Домашнее задание: § 60, задача № 1023 (Р. Дрофа, М., 2001)

Проверка знаний

Тест. Развитие взглядов на природу света. Скорость света

Новый материал

Принцип Гюйгенса

Волновая теория, в отличие от корпускулярной, рассматривает свет как волну, подобно механическим волнам. В основу волновой теории был положен принцип Гюйгенса, согласно которому каждая точка, до которой доходит волна, становится центром испускания вторичных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени. С помощью принципа Гюйгенса были объяснены законы отражения и преломления.

Демонстрация. С помощью волновой ванны продемонстрировать образование сферической волны при прохождении плоской волны через отверстие.

Закон отражения. С помощью принципа Гюйгенса можно вывести закон, которому подчиняются волны при отражении от границы раздела сред.

Рассмотрим отражение плоской волны. Волна называется плоской , если поверхности равной фазы (волновые поверхности ) представляют собой плоскости. На рисунке: MN – отражающая поверхность, прямые A 1 A и B 1 B – два луча падающей плоской волны (они параллельны друг другу). Плоскость AC – волновая поверхность этой волны.

Угол α между падающим лучом и перпендикуляром к отражающей поверхности в точке падения называют углом падения.

Волновую поверхность отраженной волны можно получить, если провести огибающую вторичных волн, центры которых лежат на границе раздела сред. Различные участки волновой поверхности AC достигают отражающей границы неодновременно. Возбуждение колебаний в точке A начнется раньше, чем в точке B , на время Δt = CB / v (v – скорость волны).

В момент, когда волна достигнет точки B и в этой точке начнется возбуждение колебаний, вторичная волна с центром в точке A уже будет представлять собой полусферу радиусом r = AD = v Δt = CB . Радиусы вторичных волн от источников, расположенных между точками A и B , меняются так, как показано на рисунке. Огибающей вторичных волн является плоскость DB , касательная к сферическим поверхностям. Она представляет собой волновую поверхность отраженной волны. Отраженные лучи AA 2 и BB 2 перпендикулярны волновой поверхности DB . Угол γ между перпендикуляром к отражающей поверхности и отраженным лучом называют углом отражения .

Так как AD = CB и треугольники ADB и ACB – прямоугольные, то DBA = CAB . Но α = CAB и γ = DBA как углы с перпендикулярными сторонами. Следовательно, угол отражения равен углу падения : α = γ .

Кроме того, как вытекает из построения Гюйгенса, падающий луч, луч отраженный и перпендикуляр, восставленный в точке падения, лежат в одной плоскости . Эти два утверждения представляют собой закон отражения света .

Если обратить направление распространения световых лучей, то отраженный луч станет падающим, а падающий – отраженным. Обратимость хода световых лучей – их важное свойство.

Закрепление изученного материала

Работа на компьютере с рабочими листами. Модель «Отражение и преломление света»

Рабочий лист к уроку

Примерные ответы
«Отражение света»

Ф. И. ___________________________________________________________

Обсудить ответы на вопросы 7, 8, 9. Обратить внимание на то, что луч падающий, отраженный и перпендикуляр, восставленный в точку падения, лежат в одной плоскости. Повторить закон отражения света.

В полном варианте: показать обратимость световых лучей, решить задачи на определение углов падения, отражения и расположения зеркала.

Принципы Гюйгенса-Френеля стали основой корпускулярно-волновой теории света. В начале XIX века Христиан Гюйгенс, делая опыты над световыми волнами, предположил, что существуют частицы, являющиеся переносчиками «световой энергии». Этот процесс представлялся ему как последовательная передача энергии от одной корпускулы к следующей путем соударения. Ученые, которые поддерживали эту теорию, утверждали, что свет движется эфире, среде с особыми физическими свойствами, позволяющими частицам не терять энергию при движении. Этот эфир пронизывает все окружающее пространство, а также проходит сквозь предметы, позволяя световым волнам распространяться во все стороны.

Основы теории

То, на чем базировались принципы Гюйгенса-Френеля, можно сформулировать следующим образом: распространение света заключается в том, что световое возбуждение, исходящее от источника света, передается соседним точкам в пространстве, которые генерируют вторичные световые волны и передают их соседним точкам. Поля распространения вторичных волн от соседних точек накладываются друг на друга усиливаясь или затухая. Подтверждением это теории служат дифракция, интерференция, дисперсия и отражение, которые будут подробнее рассмотрены ниже.

Интерференция

Когда две световые волны накладываются друг на друга, они могут либо выступить в роли усиливающего фактора, либо ослабить колебания друг друга. Открытие этого явления произошло за семнадцать лет до формулирования принципа Гюйгенса, в 1801 году Томасом Юнгом, англичанином, врачом по образованию. Ученый заметил, что если на картоне проколоть два очень маленьких отверстия рядом друг с другом и поставить этот экран на пути узконаправленного пучка световых волн, например щели в занавеске, то на стене позади экрана вместо ожидаемых двух светлых пятен будет несколько светлых и темных колец. Для того чтобы опыт был успешным, необходимо всего одно условие - световые волны должны быть согласованы в своих колебаниях.

Дифракция

Световая волна, проходя через аэрозоли, жидкости или твердые тела, может отклоняться от прямолинейной оси движения. Это явление называется дифракцией. Его используют в оптических приборах для получения четкого изображения даже наименьших предметов, или объектов, находящихся на значительном расстоянии.

Одновременно с Гюйгенсом, в 1818 году, Френель сделал презентацию доклада о дифракции Парижскому научному обществу. Его опыт и теоретические выкладки были одобрены, а один из членов комиссии, физик Пуассон, на основе этой теории сделал заключение, что если поставить на пути дифракционно отклоненных лучей непрозрачное круглое препятствие, то на экране будет отражаться светлое пятно, а не тень предмета. Позднее это предположение было проверено опытным путем физиком Д.Ф. Араго. Дифракция света (принцип Гюйгенса-Френеля) нашла свое подтверждение через, казалось бы, противоречащую гипотезу. Волновая теория света заняла свое место среди других верифицированных постулатов физики.

Дисперсия

Помимо дифракции и интерференции принципы Гюйгенса-Френеля включают в себя и явление дисперсии. По сути, это разложение пучка света на отдельные волны после прохождения через аэрозоль, жидкость или твердое тело. Это явление было открыто еще Исааком Ньютоном во время опытов с призмой. Расщепление света можно объяснить тем, что белый луч состоит из световых волн различной длины. Проходя через препятствие, свет отражается под разным углом, так как коэффициент отражения находится в прямой зависимости от длины волны. Из-за этого волны одной длины формируют отдельные пучки, которые мы воспринимаем в разном цветовом спектре: от красного до фиолетового.

Поляризация

Объяснить этот физический принцип довольно сложно. Для больше наглядности можно использовать опыт прохождения света между двумя призмами. Суть его состоит в том, что если твердые прозрачные тела ориентированы одинаково, то свет проходит через них, не теряя своей яркости, если же поставить их перпендикулярно друг другу, то луч не будет проходить. Это объясняется тем, какой вектор направленности имеют световые волны. Если он совпадает с плоскостью, на которой расположен кристалл, то ослабления не происходит, а если не совпадает, то луч света становится менее ярким или вообще не проходит через предмет, ввиду того, что часть волн гасится.

Отражение

Если на пути световой волны возникает твердое или жидкое тело, то она полностью или частично отражается он него. Таким образом, мы можем видеть окружающие нас предметы. Когда световая волна достигает границы раздела сред (например, газ/жидкость или газ/твердое тело), то она полностью или частично отражается обратно. Угол, который образует между лучом света и перпендикуляром, опушенным на поверхность (границу фаз), называется углом падения, а тот, который находится между перпендикуляром и отраженным лучом - углом отражения.

Законы отражения:

1. Падающий и отраженный лучи и перпендикуляр существуют в одной плоскости.
2. Угол падения равен углу отражения.
3. Ход световых лучей обратим.

Диффузное и зеркальное отражение

В зависимости от типа поверхности, от которой отражается луч, можно выделить зеркальное и диффузное отражение. Зеркальным называется отражение, которое наблюдается от очень гладкой поверхности, когда неровности не превышают длину волны. Тогда отраженный луч будет параллелен падающему. Это встречается в зеркалах, стеклах, полированном металле. Если неровности поверхности больше длины световой волны, то отраженные лучи направлены под разными углами относительно угла падения. Именно из-за этого мы можем видеть предметы, которые сами не являются источниками света. Впервые прийти к такому умозаключению помог принцип Гюйгенса. Закон отражения света получил математическое и практическое обоснование, опираясь на уже известные понятия интерференции и дифракции.

Практическое применение

Принципы Гюйгенса-Френеля легли в основу проектирования оптических приборов, а также стали базисом корпускулярно-волновой теории света. Англичанин Д. Табор, лауреат Нобелевской премии по физике, используя этот закон, изобрел голографию. Хотя практическое ее воплощение стало возможно только с внедрением в массовое пользование узконаправленных интенсивных источников света - лазеров. По сути, голограмма - это запечатленная на фотопластинке картина интерференции, образующаяся световыми волнами, которые усиливают и ослабляют друг друга, отражаясь от предмета под разными углами.

Методика такого запечатления трехмерного изображения находит применение в сфере хранения информации, потому что на небольшой поверхности голограммы помещается большее количество данных, чем на микрофотографиях. В качестве наглядного примера можно привести расположение энциклопедического словаря объемом в тысячу триста страниц на фотопластинке 3х3 см.

В разработке находятся такие приборы, как голографический электронный микроскоп, позволяющий создавать трехмерные изображения наименьших структурных единиц живой материи, а также голографическое кино и телевидение, первыми версиями которого являются 3D-киносеансы.

Что такое Дифракция света

Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики.

Дифракция световых волн определяет качество оптических приборов, в частности их разрешающую способность.

Огибание препятствий звуковыми волнами (т. е. дифракция звуковых волн) наблюдается постоянно в обыденной жизни. Для наблюдения дифракции световых волн необходимо создание специальных условий. Это обусловлено малостью длин световых волн. Мы знаем, что в пределе при l→ 0 законы волновой оптики переходят в законы геометрической оптики. Следовательно, отклонения от законов геометрической оптики при прочих равных условиях оказываются тем меньше, чем меньше длина волны.

Принцип Гюйгенса Френеля.

Проникновение световых волн в область геометрической тени может быть объяснено с помощью принципа Гюйгенса. Однако этот принцип не дает сведений об амплитуде, а следовательно и об интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях. Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн, т.е по Френелю все вторичные источники когерентны между собой. Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет найти амплитуду результирующей волны

Рис.8.3

в любой точке пространства. Развитый таким способом принцип Гюйгенса получил название принципа Гюйгенса - Френеля.

Согласно принципу Гюйгенса - Френеля каждый элемент волновой поверхности S (рис8.3) служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента dS. Амплитуда сферической волны убывает с расстоянием г от источника по закону 1/г (Следовательно, от каждого участка dS волновой поверхности в точку Р, лежащую перед этой поверхностью, приходит колебание

В этом выражении - фаза колебания в месте расположения волновой поверхности S, k - волновое число, г - расстояние от элемента поверхности dS до точки Р. Множитель определяется амплитудой светового колебания в том месте, где находится dS. Коэффициент К зависит от угла j между нормалью n к площадке dS и направлением от dS к точке Р. При j =0 этот коэффициент максимален, при j =p/2 он обращается в нуль.

Результирующее колебание в точке Р представляет собой суперпозицию колебаний, взятых для всей волновой поверхности S:

Эта формула является аналитическим выражением принципа Гюйгенса - Френеля.

Сказанное означает, что при вычислении амплитуды колебания, порождаемого в точке Р световой волной, распространяющейся от реального источника, можно заменять этот источник совокупностью вторичных источников, расположенных вдоль волновой поверхности. А в этом и состоит суть принципа Гюйгенса - Френеля.

Так как вторичные источники когерентны между собой, то дифракционная картина будет представлять собой перераспределение интенсивности светового потока. Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате суперпозиции волн. По историческим причинам перераспределение интенсивности, возникающее в результате суперпозиции волн, возбуждаемых конечным числом дискретных когерентных источников, принято называть интерференцией волн. Перераспределение интенсивности, возникающее вследствие суперпозиции волн, возбуждаемых когерентными источниками, расположенными непрерывно, принято называть дифракцией волн. Наблюдение дифракции осуществляется обычно по следующей схеме. На пути световой волны, распространяющейся от некоторого источника, помещается непрозрачная преграда, закрывающая часть волновой поверхности световой волны. За преградой располагается экран, на котором возникает дифракционная картина.

Различают два вида явления дифракции в зависимости от расстояния точки наблюдения до препятствия или неоднородности, а также от вида волнового фронта в точке наблюдения. Если точка наблюдения расположена достаточно далеко от препятствия и в точку наблюдения после взаимодействия с неоднородностью приходит плоская волна, то говорят о дифракции Фраунгофера. В остальных случаях говорят о дифракции Френеля.

В качестве примера рассмотрим взаимодействие светового потока от источника с непрозрачной плоской преградой, в которой прорезано отверстие произвольной формы. При дифракции Френеля (рис. 8.4а) в точку наблюдения , расположенную на экране на конечном расстоянии от преграды, приходят сферические волны от источника, расположенного на конечном расстоянии от преграды, и от точек контура, ограничивающего отверстие. При дифракции Фраунгофера (рис. 8.4b) световой волны от источника , бесконечно удалённого от преграды, в точку наблюдения , также бесконечно удалённую от преграды, приходят плоские волны.

Рис.8.4

Отсюда следует, что дифракция Френеля проявляется в виде интерференции сферических (цилиндрических) волн, приходящих в точку наблюдения от неоднородности, с которой взаимодействует электромагнитная волна (свет). Интерференция цилиндрических волн, представляющая собой частный случай интерференции сферических волн, имеет место в том случае, когда и световая волна и неоднородность среды распространения обладают общей осью симметрии, вследствие которой поле волны и параметры неоднородности одинаковы в любом сечении, перпендикулярном оси симметрии.

Дифракция Фраунгофера обусловлена интерференцией параллельных, плоских волн (лучей), приходящих в точку наблюдения от неоднородности, с которой взаимодействует электромагнитная волна (свет). С помощью линзы 2 (рис. 8.5)

Рис.8.5

дифракцию Фраунгофера можно наблюдать на экране, расположенном на конечном расстоянии от преграды, с которой взаимодействует свет (электромагнитная волна). Линза 1 (рис. 8.6), в фокусе которой расположен источник , используется для освещения отверстия в преграде плоской волной.

Зоны Френеля

Как следует из принципа Гюйгенса- Френеля амплитуда волны в точке наблюдения (рис. 8.3), создаваемая источником монохроматической электромагнитной волны в точке , может быть найдена как суперпозиция амплитуд сферических волн, испускаемых вторичными источниками на произвольной замкнутой поверхности , охватывающей точку в соответствии с выражением (8.2).

Вычисления по формуле (8.2) представляют собой в общем случае очень трудную задачу. Однако, как показал Френель, в случаях, отличающихся симметрией, нахождение амплитуды результирующего колебания может быть осуществлено простым алгебраическим или геометрическим суммированием.

Чтобы понять суть метода, разработанного Френелем, амплитуду светового колебания, возбуждаемого в точке Р сферической волной, распространяющейся в изотропной, однородной среде из точечного источника S (рис. 8.6). Волновые поверхности такой световой волны симметричны относительно прямой линии SP. Воспользовавшись этим, разобьем изображенную на рисунке волновую поверхность на кольцевые зоны, построенные так, что расстояния от краев каждой, зоны до точки Р отличаются на l/2. Обладающие таким свойством зоны носят название зон Френеля.

Рис.8.6

Из рис. 8.6 видно, что расстояние b m от внешнего края m-й равно

(8.3)

(b - расстояние от вершины волновой поверхности О до точки Р). Колебания, приходящие в точку Р от аналогичных точек двух соседних зон (т. е. от точек, лежащих в середине зон, или у внешних краев зон и т. д.), находятся в противофазе. Поэтому и результирующие колебания, создаваемые каждой из зон в целом, будут для соседних зон отличаться по фазе на p.

Вычислим радиус зон Френеля. Так, граница - ой зоны Френеля () отстоит от прямой (рис. 8.6) на расстоянии , называемом радиусом - ой зоны Френеля. Найдём радиус - ой зоны Френеля. Как следует из геометрических соображений (рис. 8.7):

где - расстояние вдоль прямой от источника до центра волнового фронта; - расстояние вдоль прямой от центра волнового фронта до точки наблюдения.

Из 8.4, пренебрегая , для не очень больших найдём :

(8.5)

С помощью этого соотношения из (8.4) найдём

(8.6)

Рис8.7

В частном случае бесконечно удалённого источника от точки наблюдения () волновой фронт является плоскостью и радиус m-ой зоны Френеля определяется формулой

Принимая во внимание (рис. 8.5), находим площадь сферического сегмента радиуса и высоты

и получаем, что площадь - ой зоны Френеля :

не зависит от .Это значит, что в каждой зоне Френеля находится одинаковое число вторичных источников, а, следовательно, суммарную амплитуду вторичных источников можно заменить амплитудой зоны Френеля.

Итак, площади зон Френеля примерно одинаковы. Расстояние b m от зоны до точки Р медленно растет с номером зоны m Угол j между нормалью к элементам зоны и направлением на точку Р также растет с m. Все это приводит к тому, что амплитуда E m колебания, возбуждаемого m-й зоной в точке Р, монотонно убывает с ростом m. Таким образом, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке Р зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательность:

E 1 >E 2 >E 3 > E m >E m + n

Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на p.

Действительно, пусть - амплитуды, создаваемые первой, второй и т.д. зонами Френеля. Тогда искомая амплитуда в точке , создаваемая всеми зонами Френеля в точке наблюдения, равна

Тогда из выражения (8.10) получим:

Итак, амплитуда результирующего колебания, получающегося вследствие взаимной интерференции света, идущего в точку Р от различных участков сферической волны, меньше амплитуды первой зоны Френеля. Так, как в однородной изотропной среде интенсивность распространяющегося света определяется только амплитудой первой зоны Френеля, то можно оценить радиус того цилиндрического канала, по которому распространяется свет: пусть а=b=1м, l=0,5мкм, тогда r 1 =0,5мм. Следовательно, распространение света от точки S к точке P происходит в узком канале, т.е. прямолинейно, что соответствует законам геометрической оптики. Таким, образом, теория зон Френеля не противоречит законам геометрической оптики.

Учитывая, что интенсивность волны пропорциональна квадрату модуля электромагнитных векторов, можно заключить, что интенсивность поля , создаваемого первой зоной Френеля, в четыре раза больше интенсивности волны источника в точке наблюдения, создаваемой всеми вторичными источниками на поверхности :

Зонные пластинки.

Мы нашли выражение для радиусов зон Френеля сферических световых волн

(8.13)

Используя, это выражение, можно приготовить экран, состоящий из последовательно чередующихся прозрачных и непрозрачных колец, радиусы которых удовлетворяют условию 8.13 для заданных значений a, b и l. Приготовленная таким образом пластинки носит название амплитудной зонной пластинки. Колебания от четных и нечетных зон Френеля находятся в противофазе и, следовательно, взаимно ослабляют друг друга. Если поставить на пути световой волны приготовленную пластинку, которая перекрывала бы все четные или нечетные зоны, то интенсивность света в точке Р резко возрастает. Такая пластинка действует подобно собирающей линзе.

Рис.8.8

На рис. 8.8 изображена пластинка, перекрывающая четные зоны.

Еще большего эффекта можно достичь, не перекрывая четные (или нечетные) зоны, а изменяя фазу их колебаний на p. Это можно осуществить о помощью

прозрачной пластинки, толщина которой в местах, соответствующих четным или нечетным зонам, отличается на надлежащим образом подобранную величину. Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой. По сравнению с перекрывающей зоны амплитудной зонной пластинкой, фазовая дает дополнительное увеличение амплитуды в два раза, а интенсивности света - в четыре раза.

Для фазовой пластинки результирующую амплитуду светового вектора можно записать следующим образом.

Принцип Гюйгенса

Обосновывая волновую теорию света, Гюйгенс предложил принцип, который позволял наглядно решать некоторые задачи распространения и преломления света. Смысл его в том, что: Если в какой - либо момент времени известен световой волновой фронт, то для того, чтобы определить его положение через некоторый промежуток времени равный $\ \triangle t$, то каждую точку фронта следует рассматривать как источник сферической волны, построить вокруг такого вторичного источника волн сферу, имеющую радиус $c\triangle t$, где $c$ - скорость света в вакууме. При этом поверхность, которая огибает вторичные сферические волны, будет являться фронтом исходной волны через заданный промежуток времени $\triangle t$.

По физическому содержанию принцип Гюйгенса выражает взгляд на свет как непрерывный процесс в пространстве. При использовании принципа Гюйгенса можно объяснить почему, волны света попадают в область геометрической тени.

Основной проблемой принципа Гюйгенса является то, что он не учитывает явления интерференции света. Этот принцип не дает сведений об амплитуде и интенсивности волн.

Принцип Гюйгенса - Френеля, его аналитическое выражение

Определение 1

Френель развил принцип Гюйгенса, и это положение стало формулироваться так: Любая точка, принадлежащая волновому фронту, превращается в источник вторичных волн (это из принципа Гюйгенса), при этом вторичные источники являются когерентными между собой и испускаемые ими вторичные волны интерферируют. Для поверхности, совпадающей с волновой поверхностью, мощности вторичного излучения равных по площади участков одинаковы. Причем свет, распространяющийся от каждого вторичного источника идет в направлении внешней нормали.

Рэлей обобщил вышеназванный принцип:

Окружим все $S_1,S_2,S_3,\dots $ замкнутой поверхностью $(F)$ произвольной формы. При этом любую точку поверхности $F$ можно считать вторичным источником волн, которые распространяются по всем направлениям. Данные волны когерентны, так как возбуждены одними и теми же первичными источниками. Световое поле, которое появляется, как результат их пространственной интерференции, за пределами поверхности $F$ совпадает с полем реальных источников света.

Так, реальные источники света можно заменить светящейся поверхностью, которая их окружает. Причем, по всей этой поверхности как бы непрерывно распределены когерентные вторичные источники световых волн. Отличие этой гипотетической поверхности в том, что она прозрачна относительно любого излучения.

Предположим, что источник света монохроматический, среда однородная и изотропная. Таким образом, в соответствии со скорректированным принципом каждый элемент поверхности волны $S$ (рис.1) является источником вторичной сферической волны, имеющей амплитуду пропорциональную размерам данного элемента ($dS$).

Рисунок 1.

От любого участка $dS$ волновой поверхности в точку $А$ (рис.1), которая находится перед поверхностью $S$, приходит колебание, которое можно описать следующим уравнением:

где $\left(\omega t+{\alpha }_0\right)$ - фаза колебаний в месте нахождения поверхности $S$, $k$ - волновое число, $r$ - расстояние от элемента поверхности ($dS)$ до точки $A$, $a_0$ - амплитуда колебания света в месте нахождения элемента $dS$. $K$ - коэффициент, зависящий от угла $\varphi $ между нормалью $\overrightarrow{n}$ к площадке $dS$ и направлением от нее к точке $4А$. Если $\varphi =0,\ $то мы имеем $K=K_{max}$, при$\ \ \varphi =\frac{\pi }{2}$ $K=0.$

Суммарное колебание в точке А находится как суперпозиция колебаний, которые берутся для всей волновой поверхности $S$, то есть:

Формула (2) является интегральной формулировкой принципа Гюйгенса - Френеля.

Трактовка принципа Гюйгенса - Френеля

Френель искусственное предположение Гюйгенса об огибающей вторичных волн, заменил четким физическим положением, по которому вторичные волны, складываясь, интерферируют. При этом свет виден в максимумах интерференции, там, где волны взаимно гасят друг друга, имеется темнота. Так, объяснен физический смысл огибающей. К огибающей вторичные волны подходят в одинаковых фазах, поэтому интерференция вызывает большую интенсивность света. Принцип Гюйгенса - Френеля поясняет отсутствие обратной волны. Вторичные волны, которые распространяются от волнового фронта вперед, идут в свободное от возмущения пространство. При этом они интерферируют только между собой. Вторичные волны, которые идут назад, попадают в пространство, где уже присутствует прямая волна, так вторичные волны гасят прямую волну, следовательно, после прохождения волны пространство на ней не имеет возмущений.

В формулировке Рэлея рассматриваемый принцип означает, что волна, которая отделилась от своего источника, далее существует автономно, не зависит от присутствия источников.

Принцип Гюйгенса - Френеля позволяет объяснить явление дифракции.

Пример 1

Задание: Запишите выражение для напряженности электрического поля ($E$) в волне, если считать, что волна сферическая и распространяется свободно.

Решение:

Рисунок 2.

Рассмотрим свободное распространение сферической волны в однородной среде (рис.2), его можно описать, используя уравнение:

Вспомогательной волновой поверхностью в нашем случае является поверхность S, имеющая радиус $r_0$. По утверждению Френеля каждый элемент этой поверхности ($dS$) испускает вторичную сферическую волну. При этом волновое поле, испускаемое элементом $dS$ в точке $А$ найдем как:

Используя гипотезу Френеля имеем:

где $K\left(\alpha \right)$ - функция, зависящая от длины волны и угла между нормалью к фронту волны и направлением распространения вторичной волны (рис.2).

Полное волновое поле в точке $А$ представим интегралом:

Примем в качестве элемента $dS$ площадь кольца, которое вырезается из волнового фронта двумя бесконечно близкими концентрическими сферами центры которых находятся в точке $А$ (рис.2). В таком случае, можно записать, что:

В качестве переменной интегрирования примем расстояние $r_1.$ Величины $r_0$ и $r$ считаем постоянными. Из треугольника $DOA$ найдем:

\[{r_1}^2={r_0}^2+{\left(r_0+r\right)}^2-2r_0\left(r_0+r\right)cos\beta \left(1.6\right).\]

Продифференцируем выражение (1.6), имеем:

Подставим выражение (1.7) для $dS$ в формулу (1.4), получим:

где функцию $K\left(\alpha \right)\ \ рассматриваем\ как$ функцию $r_1$. При этом $r_{max}=r+2r_0.$

Ответ: $E=\frac{2\pi A_0}{\left(r_0+r\right)}e^{i\left(\omega t-kr_0\right)}\int\limits^{r_{max}}_r{K\left(r_1\right)e^{-ikr_1}}dr_1.$

Пример 2

Задание: Как используя принцип Гюйгенса - Френеля объяснить явление дифракции?

Решение:

Допустим, что плоская волна падает на экран перпендикулярно отверстию в нем. Согласно принципу Гюйгенса - Френеля каждая точка участка, волнового фронта, который выделяется отверстием в экране, становится источником вторичных волн. Если среда является однородной и изотропной вторичные волны являются сферическими. При построении огибающей вторичных волн для фиксированного момента времени получится, что фронт волы заходит в область геометрической тени, что означает, что волна огибает отверстие.