Погрешность и точность приближения. Абсолютная и относительная погрешности

Точность измерения характеризуется с помощью относительной погрешности .
Относительной погрешностью приближенного значения х называется отношение абсолютной погрешности этого значения к модулю точного значения а :
Если точное значение а неизвестно, то используют предельную относительную погрешность - такое положительное число δ, что .
Для вычисления относительных погрешностей часто используются приближенные формулы

Эти формулы тем точнее, чем ближе значение х к точному значению а , т. е. чем меньше погрешность или Δ.
Пример . Каковы предельные абсолютная и относительная погрешности числа 1.41 - приближенного значения числа ? Так как 1,410 < < 1,415, то

Следовательно, можно положить Δ = 0.005. Далее, , откуда δ = 0.0036 или δ = 0.36%.
Говорят, что приближенное значение х (записанное в виде десятичной дроби) имеет n верных знаков, если абсолютная погрешность этого числа меньше или равна половине единицы егоn -го разряда.

Например , если 9.263 имеет три верных знака (9, 2 и 6), то абсолютная погрешность этого числа
.

Элементарными функциями называются функции одного аргумента, значения которых получаются с помощью конечного числа вычислительных операций над аргументом, зависимой переменной и постоянными числами. Разложение элементарных функций в степенные ряды

Разложение .

Лемма. Если для любого отрезка при любом , то .

Доказательство. Для произвольного выберем так, чтобы . Применим к формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: , где . По условию, и . По признаку Даламбера ряд с членами сходится (). Поэтому его общий член стремится к 0, значит и при . Ввиду произвольности получаем, что .

Для получения разложения заметим, что , и для любого отрезка . Поэтому лемма применима с , и мы получаем: .

Для нахождения разложения и учтем, что и в лемме можно положить . Поэтому

Разложения для позволяет нам вывести очень важные для дальнейшего формулы Эйлера . Сначала дадим необходимые определения.

Если члены ряда - комплексные числа (), то сходимость ряда означает, что одновременно сходятся ряды и . Абсолютная сходимость ряда , по определению, есть сходимость ряда , т.е. ряда .

Очевидные неравенства показывают, что абсолютная сходимость ряда равносильна одновременной абсолютной сходимости рядов , и абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами обладают всеми свойствами абсолютно сходящихся рядов с действительными членами.

Подставим в разложение для вместо величину . Тогда (пока формально) получим: . Группируя действительные и мнимые слагаемые, получаем: .

Для обоснования законности наших действий заметим, что ряд , как доказано выше, абсолютно сходится, поэтому в нем можно переставить слагаемые (в частности так, как это сделано выше), и сумма его сохранится. Упомянем, что и для .

Если в разложение для подставить вместо число , то получим: . Поэтому из двух полученных формул следует, что . Кроме того, для любого комплексного числа .

Разложение .

Используем равенство: . Разложим в ряд как прогрессию при . . Тогда, интегрируя это разложение, получим: . Это равенство справедливо при . Кроме того, т.к. ряд сходится по теореме Лейбница, равенство сохранится и при .

Разложение .

Разложение .

Если обозначить , то . Поэтому . Это разложение верно для всех , где - радиус сходимости. Для нахождения используем формулу . Кроме того, без доказательства, отметим, что при разложение справедливо и при , а при - для .

В заключение приведем несколько полезных следствий из разложения .

Следствие 1. Легко видеть, . Поэтому при . Полагая , получаем, что и . Этим разложением можно воспользоваться при вычислении логарифмов и при доказательстве формулы Стирлинга.

Следствие 2. Формула Стирлинга.

Приведем эту формулу без доказательства.

9. Приближенное решение алгебраических уравнений

80. Интерполяция

Интерполя́ция , интерполи́рование - в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называетсяаппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса-Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.

Определения

Рассмотрим систему несовпадающих точек () из некоторой области . Пусть значения функции известны только в этих точках:

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что

§ Точки называют узлами интерполяции , а их совокупность - интерполяционной сеткой .

§ Пары называют точками данных или базовыми точками .

§ Разность между «соседними» значениями - шагом интерполяционной сетки . Он может быть как переменным так и постоянным.

§ Функцию - интерполирующей функцией или интерполянтом .

Пример

1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений определяет соответствующие значения :

	0,8415
	0,9093
	0,1411
	−0,7568
	−0,9589
	−0,2794

Интерполяция помогает нам узнать какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных (например, при x = 2,5).

К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.

2. Найти промежуточное значение (способом линейной интерполяции).

	15.5
	?
	19.2

Абсолютная и относительная погрешность числа.

В качестве характеристик точности приближенных величин любого происхождения вводятся понятия абсолютной и относительной погрешности этих величин.

Обозначим через а приближение к точному числу А.

Определени . Величина называется погрешностью приближенного числаа.

Определение . Абсолютной погрешностью приближенного числа а называется величина
.

Практически точное число А обычно неизвестно, но мы всегда можем указать границы, в которых изменяется абсолютная погрешность.

Определение . Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называется наименьшая из верхних границ для величины , которую можно найти при данном способе получения числаа.

На практике в качестве выбирают одну из верхних границ для , достаточно близкую к наименьшей.

Поскольку
, то
. Иногда пишут:
.

Абсолютная погрешность - это разница между результатом измерения

и истинным (действительным) значением измеряемой величины.

Абсолютная погрешность и предельная абсолютная погрешность не достаточны для характеристики точности измерения или вычисления. Качественно более существенна величина относительной погрешности.

Определение . Относительной погрешностью приближенного числа а назовем величину:

Определение . Предельной относительной погрешностью приближенного числа а назовем величину

Так как
.

Таким образом, относительная погрешность определяет фактически величину абсолютной погрешности, приходящейся на единицу измеряемого или вычисляемого приближенного числа а.

Пример. Округляя точные числа А до трех значащих цифр, определить

абсолютную Dи относительную δ погрешности полученных приближенных

Дано:

Найти:

∆-абсолютная погрешность

δ –относительная погрешность

Решение:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,a0

*100%=0.203%

Ответ: =0,027; δ=0.203%

2.Десятичная запись приближенного числа. Значащая цифра. Верные знаки числа(определение верных и значащих цифр, примеры; теория о связи относительной погрешности и числа верных знаков).

Верные знаки числа.

Определение . Значащей цифрой приближенного числа а называется всякая цифра, отличная от нуля, и нуль, если он расположен между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда.

Например, в числе 0,00507 =
имеем 3 значащие цифры, а в числе 0,005070=
значащие цифры, т.е. нуль справа, сохраняя десятичный разряд, является значащим.

Условимся впредь нули справа записывать, если только они являются значащими. Тогда, иначе говоря,

значащими являются все цифры числа а, кроме нулей слева.

В десятичной системе счисления всякое число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной суммы (десятичной дроби):

где
,
- первая значащая цифра, m - целое число, называемое старшим десятичным разрядом числа а.

Например, 518,3 =, m=2.

Пользуясь записью , введем понятие о верных десятичных знаках (в значащих цифрах) приближенно-

го числа.

Определение . Говорят, что в приближенном числе а формы n - первых значащих цифр ,

где i= m, m-1,..., m-n+1 являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-й значащей цифрой:

В противном случае последняя цифра
называется сомнительной.

При записи приближенного числа без указания его погрешности требуют, чтобы все записанные цифры

были верными. Это требование соблюдено во всех математических таблицах.

Термин “n верных знаков” характеризует лишь степень точности приближенного числа и его не следует понимать так, что n первых значащих цифр приближенного числа а совпадает с соответствующими цифрами точного числа А. Например, у чисел А=10, а=9,997 все значащие цифры различны, но число а имеет 3 верных значащих цифры. Действительно, здесь m=0 и n=3 (находим подбором).

В практической деятельности человеку приходится измерять различные величины, учитывать материалы и продукты труда, производить различные вычисления. Результатами различных измерений, подсчетов и вычислений являются числа. Числа, полученные в результате измерения, лишь приблизительно, с некоторой степенью точности характеризуют искомые величины. Точные измерения невозможны ввиду неточности измерительных приборов, несовершенства наших органов зрения, да и сами измеряемые объекты иногда не позволяют определить их величину с любой точностью.

Так, например, известно, что длина Суэцкого канала 160 км, расстояние по железной дороге от Москвы до Ленинграда 651 км. Здесь мы имеем результаты измерений, произведенных с точностью до километра. Если, например, длина прямоугольного участка 29 м, ширина 12 м, то, вероятно, измерения произведены с точностью до метра, а долями метра пренебрегли,

Прежде чем произвести какое-либо измерение, необходимо решить, с какой точностью его нужно выполнить, т.е. какие доли единицы измерения надо при этом принять во внимание, а какими пренебречь.

Если имеется некоторая величина а, истинное значение которой неизвестно, а приближенное значение (приближение) этой величины равно х, то пишут а х .

При различных измерениях одной и той же величины будем получать различные приближения. Каждое из этих приближений будет отличаться от истинного значения измеряемой величины, равного, например, а, на некоторую величину, которую мы будем называть погрешностью. Определение. Если число x является приближенным значением (приближением) некоторой величины, истинное значение которой равно числу а, то модуль разности чисел, а и х называется абсолютной погрешностью данного приближения и обозначается a x : или просто a . Таким образом, по определению,

a x = a-x (1)

Из этого определения следует, что

a = x a x (2)

Если известно, о какой величине идет речь, то в обозначении a x индекс а опускается и равенство (2) записывается так:

a = x x (3)

Так как истинное значение искомой величины чаще всего бывает неизвестно, то нельзя найти и абсолютную погрешность приближения этой величины. Можно лишь указать в каждом конкретном случае положительное число, больше которого эта абсолютная погрешность быть не может. Это число называется границей абсолютной погрешности приближения величины a и обозначается h a . Таким образом, если x -- произвольное приближение величины а при заданной процедуре получения приближений, то

a x = a-x h a (4)

Из сказанного выше следует, что если h a является границей абсолютной погрешности приближения величины а , то и любое число, большее h a , также будет границей абсолютной погрешности приближения величины а .

На практике принято выбирать в качестве границы абсолютной погрешности возможно меньшее число, удовлетворяющее неравенству (4).

Решив неравенство a-x h a получим, что а заключено в границах

x - h a a x + h a (5)

Более строгое понятие границы абсолютной погрешности можно дать следующим образом.

Пусть X -- множество всевозможных приближений х величины а при заданной процедуре получения приближении. Тогда любое число h , удовлетворяющее условию a-x h a при любом хХ , называется границей абсолютной погрешности приближений из множества X . Обозначим через h a наименьшее из известных чисел h . Это число h a и выбирают на практике в качестве границы абсолютной погрешности.

Абсолютная погрешность приближения не характеризует качества измерений. Действительно, если мы измеряем с точностью до 1 см какую-либо длину, то в том случае, когда речь идет об определении длины карандаша, это будет плохая точность. Если же с точностью до 1 см определить длину или ширину волейбольной площадки, то это будет высокая точность.

Для характеристики точности измерения вводится понятие относительной погрешности.

Определение. Если a x : есть абсолютная погрешность приближения х некоторой величины, истинное значение которой равно числу а , то отношение a x к модулю числа х называется относительной погрешностью приближения и обозначается a x или x .

Таким образом, по определению,

Относительную погрешность обычно выражают в процентах.

В отличие от абсолютной погрешности, которая чаще всего бывает размерной величиной, относительная погрешность является безразмерной величиной.

На практике рассматривают не относительную погрешность, а так называемую границу относительной погрешности: такое число Е a , больше которого не может быть относительная погрешность приближения искомой величины.

Таким образом, a x Е a .

Если h a -- граница абсолютной погрешности приближений величины а , то a x h a и, следовательно,

Очевидно, что любое число Е , удовлетворяющее условию, будет границей относительной погрешности. На практике обычно известны некоторое приближение х величины а и граница абсолютной погрешности. Тогда за границу относительной погрешности принимают число

Реферат

Абсолютная и относительная погрешность

Введение

Абсолютная погрешность - является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины. Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения случайной величины может быть различной. Если - измеренное значение, а - истинное значение, то неравенство должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.

·Обычно используется запись со знаком ± . Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с .

·Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью, используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной Больцмана равно 1,380 6488 (13)×10 ?23 Дж/К , что также можно записать значительно длиннее как 1,380 6488×10 ?23 ± 0,000 0013×10 ?23 Дж/К .

Относительная погрешность - погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29-99):.

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

1. Что называется приближённым значением?

С избыточным и недостаточным? В процессе вычислений весьма часто приходится иметь дело с приближенными числами. Пусть А - точное значение некоторой величины, называемое в дальнейшем точным числом А. Под приближенным значением величины А, или приближенным числам, называется число а , заменяющее точное значение величины А. Если а < А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку. Если а > А, - то по избытку. Например, 3,14 является приближенным значением числа ? по недостатку, а 3,15 - по избытку. Для характеристики степени точности данного приближения пользуются понятием погрешности или ошибки.

Погрешностью ?а приближенного числа а называется разность вида

?а = А - а,

где А - соответствующее точное число.

Из рисунка видно, что длина отрезка АВ заключена между 6 см и 7 см.

Значит, 6 - приближенное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) > с недостатком, а 7 - с избытком.

Обозначив длину отрезка буквой у, получим: 6 < у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина отрезка АВ (см. рис. 149) ближе к 6 см, чем к 7 см. Она приближенно равна 6 см. Говорят, что число 6 получилось при округлении длины отрезка до целых.

. Что называется погрешностью приближения?

А) Абсолютной?

Б) Относительной?

А) Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между истинным значением величины и её приближённым значением. |x - x_n|, где x - истинное значение, x_n - приближённое. Например: Длина листа бумаги формата А4 равна (29.7 ± 0.1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором - одного километра. Вопрос, сравнить точность этих измерений.

Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм. То вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведем некоторые рассуждения.

При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает 0.1 см на 29.7 см, то есть в процентном соотношении это составляет 0.1/29.7 *100% = 0.33% измеряемой величины.

Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в процентном соотношении составляет 1/650 *100% = 0.15% измеряемой величины. Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна листа формата А4.

Б) Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения величины.

математический погрешность дробь

где x - истинное значение, x_n - приближённое.

Относительную погрешность обычно вызывают в процентах.

Пример. При округлении числа 24,3 до единиц получается число 24.

Относительная погрешность равна. Говорят, что относительная погрешность в этом случае равна 12,5%.

) Какое округление, называется округлением?

А) С недостатком?

Б) С избытком?

А) Округление с недостатком

При округлении числа, выраженного десятичной дробью, с точностью до 10^{-n} с недостатком сохраняют n первых знаков после запятой, а последующие отбрасываются.

Например, округляя 12,4587 до тысячных с недостатком, получим 12,458.

Б) Округление с избытком

При округлении числа, выраженного десятичной дробью, с точностью до 10^{-n} с избытком сохраняют n первых знаков после запятой, а последующие отбрасываются.

Например, округляя 12,4587 до тысячных с недостатком, получим 12,459.

) Правило округления десятичных дробей.

Правило. Чтобы округлить десятичную дробь до определенного разряда целой или дробной части, все меньшие разряды заменяются нулями или отбрасываются, а предшествующий отбрасываемой при округлении цифре разряд не изменяет своей величины, если за ним идут цифры 0, 1, 2, 3, 4, и увеличивается на 1 (единицу), если идут цифры 5, 6, 7, 8, 9.

Пример. Округлить дробь 93,70584 до:

десятитысячных: 93,7058

тысячных: 93,706

сотых: 93,71

десятых: 93,7

целого числа: 94

десятков: 90

Несмотря на равенство абсолютных погрешностей, т.к. различны измеряемые величины. Чем больше измеряемый размер, тем меньше относительная погрешность при постоянстве абсолютной.

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

Инструкция

В первую очередь, проведите несколько измерений прибором одной и той же величины, чтобы иметь возможность действительное значение. Чем больше будет проведено измерений, тем точнее будет результат. Например, взвесьте на электронных весах. Допустим, вы получили результаты 0,106, 0,111, 0,098 кг.

Теперь посчитайте действительное значение величины (действительное, поскольку истинное найти невозможно). Для этого сложите полученные результаты и разделите их на количество измерений, то есть найдите среднее арифметическое. В примере действительное значение будет равно (0,106+0,111+0,098)/3=0,105.

Источники:

• как найти погрешность измерений

Неотъемлемой частью любого измерения является некоторая погрешность . Она представляет собой качественную характеристику точности проведенного исследования. По форме представления она может быть абсолютной и относительной.

Вам понадобится

• - калькулятор.

Инструкция

Вторые возникают от влияния причин, и случайный характер. К ним можно отнести неправильное округление при подсчете показаний и влияние . Если такие ошибки значительно меньше, чем деления шкалы этого прибора измерения, то в качестве абсолютной погрешности целесообразно взять половину деления.

Промах или грубая погрешность представляет собой результат наблюдения, который резко отличается от всех остальных.

Абсолютная погрешность приближенного числового значения – это разность между результатом, в ходе измерения и истинным значением измеряемой величины. Истинное или действительное значение отражает исследуемую физическую величину. Эта погрешность является самой простой количественной мерой ошибки. Её можно рассчитать по следующей формуле: ∆Х = Хисл - Хист. Она может принимать положительное и отрицательное значение. Для большего понимания рассмотрим . В школе 1205 учащихся, при округлении до 1200 абсолютная погрешность равняется: ∆ = 1200 - 1205 = 5.

Существуют определенные расчета погрешности величин. Во-первых, абсолютная погрешность суммы двух независимых величин равна сумме их абсолютных погрешностей: ∆(Х+Y) = ∆Х+∆Y. Аналогичный подход применим для разности двух погрешностей. Можно воспользоваться формулой: ∆(Х-Y) = ∆Х+∆Y.

Источники:

• как определить абсолютную погрешность

Измерения физических величин всегда сопровождаются той или иной погрешностью . Она представляет собой отклонение результатов измерения от истинного значения измеряемой величины.

Вам понадобится

• -измерительный прибор:
• -калькулятор.

Инструкция

Погрешности могут возникнуть в результате влияния различных факторов. Среди них можно выделить несовершенство средств или методов измерения, неточности при их изготовлении, несоблюдение специальных условий при проведении исследования.

Существует несколько классификаций . По форме представления они могут быть абсолютными, относительными и приведенными. Первые представляют собой разность между исчисленным и действительным значением величины. Выражаются в единицах измеряемого явления и находятся по формуле:∆х = хисл- хист. Вторые определяются отношением абсолютных погрешностей к величине истинного значения показателя.Формула расчета имеет вид:δ = ∆х/хист. Измеряется в процентах или долях.

Приведенная погрешность измерительного прибора находится как отношение ∆х к нормирующему значению хн. В зависимости типа прибора оно принимается либо равным пределу измерений, либо отнесено к их определенному диапазону.

По условиям возникновения различают основные и дополнительные. Если измерения проводились в нормальных условиях, то возникает первый вид. Отклонения, обусловленные выходом значений за пределы нормальных, является дополнительной. Для ее оценки в документации обычно устанавливают нормы, в пределах которых может изменяться величина при нарушении условий проведения измерений.

Также погрешности физических измерений подразделяются на систематические, случайные и грубые. Первые вызываются факторами, которые действуют при многократном повторении измерений. Вторые возникают от влияния причин, и характер. Промах представляет собой результат наблюдения, который резко отличается от всех остальных.

В зависимости от характера измеряемой величины могут использоваться различные способы измерения погрешности. Первый из них это метод Корнфельда. Он основан на исчислении доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата. Погрешность в этом случае будет представлять собой половину разности этих результатов: ∆х = (хmax-xmin)/2. Еще один из способов – это расчет средней квадратической погрешности.

Измерения могут проводиться с разной степенью точности. При этом абсолютно точными не бывают даже прецизионные приборы. Абсолютная и относительная погрешности могут быть малы, но в реальности они есть практически всегда. Разница между приближенным и точным значениями некой величины называется абсолютной погрешностью . При этом отклонение может быть как в большую, так и в меньшую сторону.

Вам понадобится

• - данные измерений;
• - калькулятор.

Инструкция

Перед тем как рассчитывать абсолютную погрешность, примите за исходные данные несколько постулатов. Исключите грубые погрешности. Примите, что необходимые поправки уже вычислены и внесены в результат. Такой поправкой может быть, перенос исходной точки измерений.

Примите в качестве исходного положения то, что и учтены случайные погрешности. При этом подразумевается, что они меньше систематических, то есть абсолютной и относительной, характерных именно для этого прибора.

Случайные погрешности влияют на результат даже высокоточных измерений. Поэтому любой результат будет более или менее приближенным к абсолютному, но всегда будут расхождения. Определите этот интервал. Его можно выразить формулой (Xизм- ΔХ)≤Хизм ≤ (Хизм+ΔХ).

Определите величину, максимально приближенную к значению. В измерениях берется арифметическое, которое можно по формуле, на рисунке. Примите результат за истинную величину. Во многих случаях в качестве точного принимается показание эталонного прибора.

Зная истинную величину , вы можете найти абсолютную погрешность, необходимо учитывать при всех последующих измерениях. Найдите величину Х1 – данные конкретного измерения. Определите разность ΔХ, отняв от большего меньшее. При определении погрешности учитывается только модуль этой разности.

Обратите внимание

Как правило, на практике абсолютно точное измерение провести не удается. Поэтому за эталонную величину принимается предельная погрешность. Она представляет собой максимальное значение модуля абсолютной погрешности.

Полезный совет

В практических измерениях за величину абсолютной погрешности обычно принимается половина наименьшей цены деления. При действиях с числами за абсолютную погрешность принимается половина значения цифры, которая находится в следующим за точными цифрами разряде.

Для определения класса точности прибора более важным бывает отношение абсолютной погрешности к результату измерений или к длине шкалы.

Погрешности измерений связаны с несовершенством приборов, инструментов, методики. Точность зависит также от внимательности и состояния экспериментатора. Погрешности разделяются на абсолютные, относительные и приведенные.

Инструкция

Пусть однократное измерение величины дало результат x. Истинное значение обозначено за x0. Тогда абсолютная погрешность Δx=|x-x0|. Она оценивает абсолютную . Абсолютная погрешность складывается из трех составляющих: случайных погрешностей, систематических погрешностей и промахов. Обычно при измерении прибором берут в качестве погрешности половину цены деления. Для миллиметровой линейки это будет 0,5 мм.

Истинное значение измеряемой величины в промежутке (x-Δx ; x+Δx). Короче это записывается как x0=x±Δx. Важно измерять x и Δx в одних и тех же единицах измерения и записывать в одном и том же формате , например, целая часть и три запятой. Итак, абсолютная погрешность дает границы интервала, в котором с некоторой вероятностью находится истинное значение.

Относительная погрешность отношение абсолютной погрешности к действительному значению величины: ε(x)=Δx/x0. Это безразмерная величина, она может записываться также в процентах.

Измерения прямые и косвенные. В прямых измерениях сразу замеряется искомая величина соответствующим прибором. Например, тела линейкой, напряжение – вольтметром. При косвенных измерениях величина находится по формуле зависимости между ней и замеряемыми величинами.

Если результат представляет собой зависимость от трех непосредственно измеряемых величин, имеющих погрешности Δx1, Δx2, Δx3, то погрешность косвенного измерения ΔF=√[(Δx1 ∂F/∂x1)²+(Δx2 ∂F/∂x2)²+(Δx3 ∂F/∂x3)²]. Здесь ∂F/∂x(i) – частные производные от функции по каждой из непосредственно измеряемых величин.

Полезный совет

Промахи – это грубые неточности измерений, возникающие при неисправности приборов, невнимательности экспериментатора, нарушении методики эксперимента. Чтобы уменьшить вероятность таких промахов, при проведении измерений будьте внимательны и подробно расписывайте полученный результат.

Источники:

• Методические указания к лабораторным работам по физике
• как найти относительную ошибку

Результат любого измерения неизбежно сопровождается отклонением от истинного значения. Вычислить погрешность измерения можно несколькими способами в зависимости от ее типа, например, статистическими методами определения доверительного интервала, среднеквадратического отклонения и пр.

В месяц потребуется сахар. Иногда забор крови на анализ многократно в течение дня, иногда достаточно 1-2 раз в неделю. Самоконтроль особенно необходим и больным 1 типом диабета.

Допустимая погрешность у глюкометра по мировым стандартам

Глюкометр не считается высокоточным прибором. Он предназначен только для ориентировочного определения концентрации сахара в крови.

Допустимая погрешность у глюкометра по мировым стандартам составляет 20% при гликемии более 4,2 ммоль/л.

Например, если при самоконтроле уровень сахара 5 ммоль/л, то реальное значение концентрации находится в промежутке от 4 до 6 ммоль/л.

Допустимая погрешность у глюкометра в стандартных измеряется , а не в ммоль/л. Чем выше показатели, тем больше погрешность в абсолютных числах. Например, если достигает около 10 ммоль/л, то ошибка не превышает 2 ммоль/л, а если сахар - около 20 ммоль/л, то с результатом лабораторного измерения может быть до 4 ммоль/л.

В большинстве случаев глюкометр завышает показатели гликемии.

Стандарты допускают превышение заявленной погрешности измерения в 5% случаев. Это значит, что каждое двадцатое исследование может существенно искажать результаты.

Допустимая погрешность у глюкометров разных фирм

Глюкометры подлежат обязательной сертификации. В сопровождающих прибор документах обычно указаны цифры допустимой погрешности измерений. Если этого пункта нет в инструкции, то погрешность соответствует 20%.

Некоторые производители уделяют особое внимание точности измерений. Существуют приборы европейских фирм, которые имеют допустимую погрешность меньше 20%. Наилучший показатель на сегодняшний день составляет 10-15%.

Погрешность у глюкометра при самоконтроле

Допустимая погрешность измерения характеризует работу прибора. На точность исследования влияют и некоторые другие факторы. Неправильно подготовленная кожа, слишком малый или большой объем полученной капли крови, недопустимый температурный режим - все это может приводить к ошибкам.

Только в том случае, если все правила самоконтроля соблюдаются, можно рассчитывать на заявленную допустимую погрешность исследования.

Правила самоконтроля с помощью глюкометра можно узнать у лечащего врача.

Точность глюкометра можно проверить в сервисном центре. Гарантийные обязательства производителей предусматривают бесплатные консультации и устранение неполадок.